= $\pi$ ${\left[-25{\left(x+1\right)}^{-1}\right]}_0^3$

= $\pi$ ${\left[-\frac{25}{x+1}\right]}_0^3$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{25}{3+1}+\frac{25}{0+1}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{4}+\frac{25}{1}\right)$

= $\pi ·\left(-25\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+25\cdot 1\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{4}+25\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{25}{4}+\frac{100}{4}\right)$

= $\pi ·\frac{75}{4}$

= $\frac{75}{4}\pi$

≈ 58,905

Den so entstandenen Rotationskörper kann man sich vorstellen als Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von f entsteht, und aus dem der Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche unter dem Graph von g entsteht, herausgefräst wird. Dadurch ergibt sich für solch einen Rotationskörper die Formel:

V = π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{x^2}\right)}^{2}dx$$ - π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^{2}dx$$

Da die beiden Integrale die gleichen Grenzen haben, kann man auch die beiden Summanden in ein Integral schreiben:

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left({\left(\frac{3}{x^2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{{\left(2x+1\right)}^2}\right)}^2\right)dx$$

= π $$\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{9}{x^4}-\frac{9}{{\left(2x+1\right)}^4}\right)dx$$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2}{\left(2x+1\right)}^{-3}-3x^{-3}\right]}_1^3$

= $\pi$ ${\left[\frac{3}{2{\left(2x+1\right)}^3}-\frac{3}{x^3}\right]}_1^3$

$=$ $\pi ·(\frac{3}{2{\left(2\cdot 3+1\right)}^3}-\frac{3}{3^3}-\left(\frac{3}{2{\left(2\cdot 1+1\right)}^3}-\frac{3}{1^3}\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2{\left(6+1\right)}^3}-3\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-\left(\frac{3}{2{\left(2+1\right)}^3}-3\cdot 1\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2\cdot 7^3}-\frac{1}{9}-\left(\frac{3}{2\cdot 3^3}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{343}\right)-\frac{1}{9}-\left(\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{1}{27}\right)-3\right))$

= $\pi ·(\frac{3}{686}-\frac{1}{9}-\left(\frac{1}{18}-3\right))$

= $\pi ·(\frac{27}{6174}-\frac{686}{6174}-\left(\frac{1}{18}-\frac{54}{18}\right))$

= $\pi ·(-\frac{659}{6174}-1·\left(-\frac{53}{18}\right))$

= $\pi ·\left(-\frac{659}{6174}+\frac{53}{18}\right)$

= $\pi ·\frac{2920}{1029}$

= $\frac{2920}{1029}\pi$

≈ 8,915

Die Fläche zwischen dem Graph von f und der Geraden y = 1 (linkes Schaubild) ist die gleiche Fläche wie die zwischen der Differenzfunktion f(x)-1 = $\frac{2x+6}{2x+2}-1$ = $\frac{2x+6}{2x+2}-\frac{2x+2}{2x+2}$
und der x-Achse (rechtes Schaubild).

Dementsprechend ist auch der gesuchte Rotationskörper der gleiche, wie wenn man die Fläche unter der Differenzfunktion (rechtes Schaubild) um die x-Achse rotieren lassen würde. Dadurch ergibt sich für das Volumen:

V = π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{(\frac{2x+6}{2x+2}-\frac{2x+2}{2x+2})}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{2x+6-2x-2}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{4}{2x+2}\right)}^{2}dx$$

= π $$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{4}^2·\frac{1}{{\left(2x+2\right)}^2}dx$$

= $\pi$ ${\left[-8{\left(2x+2\right)}^{-1}\right]}_0^1$

= $\pi$ ${\left[-\frac{8}{2x+2}\right]}_0^1$

$=$ $\pi ·\left(-\frac{8}{2\cdot 1+2}+\frac{8}{2\cdot 0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{2+2}+\frac{8}{0+2}\right)$

= $\pi ·\left(-\frac{8}{4}+\frac{8}{2}\right)$

= $\pi ·\left(-8\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+8\cdot \left(\frac{1}{2}\right)\right)$

= $\pi ·\left(-2+4\right)$

= $\pi ·2$

= $2\pi$

≈ 6,283