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Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 9 x^{2} - x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 9 \cdot 2^{2} - 2$

= $- 9 \cdot 4 - 2$

= $- 36 - 2$

= $- 38$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 38$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 3 \cdot 2^{3} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2}$ = $- 3 \cdot 8 - \frac{1}{2} \cdot 4$ = $- 24 - 2$ = $- 26$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 26$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 26$ = $- 38$ ⋅ $2$ + c

$- 26$ = $- 76$ + c | + $76$

$50$ = c

also c= $50$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 38$ ⋅x + $50$

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 {(x - 2)}^{3} + 5 x$ an der Stelle x= $0$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 {(x - 2)}^{3} + 5 x$ ,
also

$f'(x) =$ $6 {(x - 2)}^{2} \cdot (1 + 0) + 5$

= $6 {(x - 2)}^{2} \cdot (1) + 5$

= $6 {(x - 2)}^{2} + 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $6 \cdot {(0 - 2)}^{2} + 5$

= $6 \cdot {(- 2)}^{2} + 5$

= $6 \cdot 4 + 5$

= $24 + 5$

= $29$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $29$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $2 \cdot {(0 - 2)}^{3} + 5 \cdot 0$ = $2 \cdot {(- 2)}^{3} + 0$ = $2 \cdot (- 8) + 0$ = $- 16 + 0$ = $- 16$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$ | $- 16$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 16$ = $29$ ⋅ $0$ + c

$- 16$ = 0 + c

$- 16$ = c

also c= $- 16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $29$ ⋅x $- 16$

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} e^{x - 3}$ an der Stelle x= $3$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{5} e^{x - 3}$ ,
also

$f'(x) =$ $\frac{1}{5} e^{x - 3} \cdot 1$

= $\frac{1}{5} e^{x - 3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $\frac{1}{5} e^{3 - 3}$

= $\frac{1}{5} e^{0}$

= $\frac{1}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{5}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $\frac{1}{5} e^{3 - 3}$ = $\frac{1}{5} e^{0}$ = $\frac{1}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$ | $\frac{1}{5}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$ ⋅ $3$ + c

$\frac{1}{5}$ = $\frac{3}{5}$ + c | $- \frac{3}{5}$

$- \frac{2}{5}$ = c

also c= $- \frac{2}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{5}$ ⋅x $- \frac{2}{5}$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{0,9 x}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $(x + 6) \cdot e^{0,9 x}$ ,
also

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{0,9 x} + (x + 6) \cdot e^{0,9 x} \cdot 0,9$

= $e^{0,9 x} + (x + 6) \cdot 0,9 e^{0,9 x}$

= $e^{0,9 x} + 0,9 (x + 6) \cdot e^{0,9 x}$

= $e^{0,9 x} \cdot (0,9 x + 5,4 + 1)$

= $e^{0,9 x} \cdot (0,9 x + 6,4)$

= $(0,9 x + 6,4) \cdot e^{0,9 x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $e^{0,9 \cdot 1} \cdot (0,9 \cdot 1 + 6,4)$

= $e^{0,9} \cdot (0,9 + 6,4)$

= $e^{0,9} \cdot 7,3$

= $7,3 e^{0,9}$

≈ 17.96

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7,3 e^{0,9}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $(1 + 6) \cdot e^{0,9 \cdot 1}$ = $7 \cdot e^{0,9}$ = $7 e^{0,9}$ ≈ 17.22

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $7 e^{0,9}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7 e^{0,9}$ = $7,3 e^{0,9}$ ⋅ $1$ + c

$7 e^{0,9}$ = $7,3 e^{0,9}$ + c | $- 7,3 e^{0,9}$

$- 0,3 e^{0,9}$ = c

also c= $- 0,3 e^{0,9}$ ≈ -0.74

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7,3 e^{0,9}$ ⋅x $- 0,3 e^{0,9}$ oder y=17.96x -0.74

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 1$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} - 1$ ,
also

$f'(x) =$ $x + 0$

= $x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 1$ = $\frac{1}{2} \cdot 1 - 1$ = $\frac{1}{2} - 1$ = $\frac{1}{2} - \frac{2}{2}$ = $- \frac{1}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- \frac{1}{2}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{1}{2}$ = $1$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- \frac{1}{2}$ = $- 1$ + c | + $1$

$\frac{1}{2}$ = c

also c= $\frac{1}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $1$ ⋅x + $\frac{1}{2}$

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(3|-21) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{2} - 5 x - 1$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 2 x - 5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(3|-21) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(3|-21) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 2 u - 5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-21 = $(- 2 u - 5) \cdot (3 - u)$ + $- u^{2} - 5 u - 1$ | +21

$(- 2 u - 5) (3 - u) - u^{2} - 5 u - 1 + 21$ = 0

$2 u^{2} - u - 15 - u^{2} - 5 u - 1 + 21$ = 0

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$ ; $5$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{2} - 5 x - 1$ ,
also

$f'(x) =$ $- 2 x - 5 + 0$

= $- 2 x - 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 2 \cdot 1 - 5$

= $- 2 - 5$

= $- 7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 7$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 1^{2} - 5 \cdot 1 - 1$ = $- 1 - 5 - 1$ = $- 7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 7$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 7$ = $- 7$ ⋅ $1$ + c

$- 7$ = $- 7$ + c | + $7$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 7$ ⋅x +0

An der Stelle x= $5$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{2} - 5 x - 1$ ,
also

$f'(x) =$ $- 2 x - 5 + 0$

= $- 2 x - 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(5) =$ $- 2 \cdot 5 - 5$

= $- 10 - 5$

= $- 15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 15$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(5) =$ $- 5^{2} - 5 \cdot 5 - 1$ = $- 25 - 25 - 1$ = $- 51$

Wir erhalten so also den Punkt B( $5$ | $- 51$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 51$ = $- 15$ ⋅ $5$ + c

$- 51$ = $- 75$ + c | + $75$

$24$ = c

also c= $24$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 15$ ⋅x + $24$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{4}{2,5 x - 2}$ beschrieben werden kann. An einer bestimmten Stelle stürzt der Snowboarder und rutscht geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Er trifft den Fangzaun im Punkt (20|0). Bestimme den x-Wert des Punktes an dem der Snowboarder gestürzt ist.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- \frac{10}{{(2,5 x - 2)}^{2}}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(20|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(20|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- \frac{10}{{(2,5 u - 2)}^{2}}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $- \frac{10}{{(2,5 u - 2)}^{2}} \cdot (20 - u)$ + $\frac{4}{2,5 u - 2}$

$- 10 \frac{20 - u}{{(2,5 u - 2)}^{2}} + \frac{4}{2,5 u - 2}$ = 0 | ⋅ ${(2,5 u - 2)}^{2}$

$(- 10 \frac{20 - u}{{(2,5 u - 2)}^{2}} + \frac{4}{2,5 u - 2}) \cdot {(2,5 u - 2)}^{2}$ = 0

$- 10 \frac{20 - u}{{(2,5 u - 2)}^{2}} \cdot {(2,5 u - 2)}^{2} + \frac{4}{2,5 u - 2} \cdot {(2,5 u - 2)}^{2}$ = 0

$- 10 (20 - u) + 4 (2,5 u - 2)$ = 0

$- 200 + 10 u + 10 u - 8$ = 0

$20 u - 208$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$20 u - 208$	=	0	\| $+ 208$
$20 u$	=	$208$	\|: $20$
$u$	=	$\frac{52}{5}$ = 10.4

L={ $\frac{52}{5}$ }

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 10.4 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Die Gerade durch den Punkt P( $\frac{3}{4}$ | $\frac{11}{2}$ ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3} x^{2} + 4$ schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.

Lösung einblenden

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $\frac{3}{4}$ | $\frac{11}{2}$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $\frac{2}{3} u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $\frac{3}{4}$ | $\frac{11}{2}$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{\frac{2}{3} u}$ = $- \frac{3}{2 u}$

Wir können also P( $\frac{3}{4}$ | $\frac{11}{2}$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{3}{2 u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{11}{2}$ = $\frac{- 1}{\frac{2}{3} u} \cdot (\frac{3}{4} - u)$ + $\frac{1}{3} u^{2} + 4$ | - $\frac{11}{2}$

$- \frac{3}{2} \frac{\frac{3}{4} - u}{u} + \frac{1}{3} u^{2} + 4 - \frac{11}{2}$ = 0 | ⋅ $\frac{2}{3} u$

$(- \frac{3}{2} \frac{\frac{3}{4} - u}{u} + \frac{1}{3} u^{2} + 4 - \frac{11}{2}) \cdot \frac{2}{3} u$ = 0

$- \frac{3}{2} \frac{\frac{3}{4} - u}{u} \cdot \frac{2}{3} u + \frac{1}{3} u^{2} \cdot \frac{2}{3} u + 4 \cdot \frac{2}{3} u - \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{3} u$ = 0

$- (\frac{3}{4} - u) + \frac{2}{9} u^{2} \cdot u + \frac{8}{3} u - \frac{11}{3} u$ = 0

$- \frac{3}{4} + u + \frac{2}{9} u^{3} + \frac{8}{3} u - \frac{11}{3} u$ = 0

$\frac{2}{9} u^{3} + 0 - \frac{3}{4}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{2}{9} u^{3} + 0 - \frac{3}{4}$	=	0
$\frac{2}{9} u^{3} - \frac{3}{4}$	=	0	\| $+ \frac{3}{4}$
$\frac{2}{9} u^{3}$	=	$\frac{3}{4}$	\|⋅ $\frac{9}{2}$
$u^{3}$	=	$\frac{27}{8}$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$	= $\frac{3}{2}$

L={ $\frac{3}{2}$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{3}{2}$ ) = $\frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2} + 4$ = $\frac{19}{4}$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{3}{2}$ | $\frac{19}{4}$ ) bzw. Q(1.5|4.75)

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Der Querschnitt einer Landschaft kann im Talbereich näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 3 x^{2}$ (mit 0 ≤ x ≤ 2) beschrieben werden (x und f(x) in 10 Meter). An das Tal schließt sich ein Hochplateau an, das sich im Modell durch die Gleichung der Geraden y = $4$ (für x ≥ 2) beschreiben lässt. Auf dieses Hochplateau möchte man nun einen 10m hohen Aussichtsturm bauen, von dem man das ganze Tal einsehen kann, der aber möglichst weit weg vom Abhang steht.
Bestimme den x-Wert im Modell, an dem man diesen Turm aufstellen muss.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $- x^{3} + 3 x^{2}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 6 x$

$f''(x) =$ $- 6 x + 6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$- 6 x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- 6 x$	=	$- 6$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $1$ | $2$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} + 3 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 3 \cdot 1^{2} + 6 \cdot 1$

= $- 3 \cdot 1 + 6$

= $- 3 + 6$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2}$ = $- 1 + 3 \cdot 1$ = $- 1 + 3$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $3$ ⋅ $1$ + c

$2$ = $3$ + c | $- 3$

$- 1$ = c

also c= $- 1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x $- 1$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = $5$ (Gerade der möglichen Turmspitzen; also 1 Einheit (10m) über dem Hochplateau) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$3 x - 1$	=	$5$	\| $+ 1$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 1,8 x^{2} + 3,888$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 1,8 x^{2} + 3,888$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3,6 x + 0$

= $3 x^{2} - 3,6 x$

$f''(x) =$ $6 x - 3,6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 3,6$	=	0	\| $+ 3,6$
$6 x$	=	$3,6$	\|: $6$
$x$	=	$0,6$

Die Lösung x= $0,6$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $0,6$ | $3,456$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 1,8 x^{2} + 3,888$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3,6 x + 0$

= $3 x^{2} - 3,6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0,6) =$ $3 \cdot {0,6}^{2} - 3,6 \cdot 0,6$

= $3 \cdot 0,36 - 2,16$

= $1,08 - 2,16$

= $- 1,08$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1,08$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0,6) =$ ${0,6}^{3} - 1,8 \cdot {0,6}^{2} + 3,888$ = $0,216 - 1,8 \cdot 0,36 + 3,888$ = $0,216 - 0,648 + 3,888$ = $3,456$ ≈ 3.46

Wir erhalten so also den Punkt B( $0,6$ | $3,456$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3,456$ = $- 1,08$ ⋅ $0,6$ + c

$3,456$ = $- 0,648$ + c | + $0,648$

$4,104$ = c

also c= $4,104$ ≈ 4.1

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1,08$ ⋅x + $4,104$ oder y=-1.08x +4.1

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 1,08 x + 4,104$	=	0	\| $- 4,104$
$- 1,08 x$	=	$- 4,104$	\|:( $- 1,08$ )
$x$	=	$3,8$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.8.

Aufgabenbeispiele von Tangenten

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

An der Stelle x= 1 :

An der Stelle x= 5 :

Tangente von außen Anwendungen

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( 3 4 | 11 2 ) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Wendetangente Anwendungen

An der Stelle x= $1$ :

An der Stelle x= $5$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $\frac{3}{4}$ | $\frac{11}{2}$ ) verläuft.