Aufgabenbeispiele von Pfadregel, Kombinatorik
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Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅
= ⋅
=
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 5 vom Typ rot, 4 vom Typ blau und 3 vom Typ gelb. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?
Ereignis | P |
---|---|
rot -> rot | |
rot -> blau | |
rot -> gelb | |
blau -> rot | |
blau -> blau | |
blau -> gelb | |
gelb -> rot | |
gelb -> blau | |
gelb -> gelb |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: rot: ; blau: ; gelb: ;
Die relevanten Pfade sind:
'rot'-'rot' (P=)
'blau'-'blau' (P=)
'gelb'-'gelb' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Kombinatorik
Beispiel:
In einer Schule gibt es 3 achte Klassen. Für ein Projekt wird aus jeder Klasse je 1 Schüler ausgelost. Wie viele verschiedene Möglichkeiten für solche Trios sind möglich, wenn in der 8a 30 Schüler, in der 8b 24 Schüler und in der in der 8c 21 Schüler hat.
Für die Kategorie '8a' gibt es 30 Möglichkeiten. Dabei kann man jedes Stück mit jeder der 24 Möglichkeiten der Kategorie '8b' kombinieren. Dies ergibt also 30 ⋅ 24 = 720 Möglichkeiten. Und jede dieser Möglichkeiten kann man dann wieder mit den 21 Möglichkeiten der Kategorie '8c' kombinieren, so dass sich insgesamt 30 ⋅ 24 ⋅ 21 = 15120 Möglichkeiten ergeben.
n Richtige tippen (ohne Zurücklegen)
Beispiel:
Bei einer Lotterie werden aus einem Lostopf mit 35 durchnummerierten Kugeln immer 6 Gewinnerkugeln zufällig gezogen. Jeder Teilnehmer an der Lotterie tippt nun genau 6 Zahlen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass man hierbei genau 3 der 6 Kugeln zufällig richtig tippt.
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Zuerst überlegen wir uns die Anzahl der Möglichkeiten welche 6 der insgesamt 35 Kugeln gewählt werden. Da dies ja der klassische Fall ist, bei dem man 6 von 35 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählt, können wir hierfür einfach den Binomialkoeffizienten verwenden.
Jetzt überlegen wir uns, wie viele günstige Möglichkeiten es gibt:
Es gibt verschiedene Möglichkeiten 3 Kreuzchen auf 6 Kästchen zu verteilen.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 3 richtig getippten unter den 6 Gewinner-Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "3 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 6 Gewinner-Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Für die Anzahl der Möglichkeiten, die 3 falsch getippten unter den 29 Nicht-Gewinner-Kugeln auszuwählen, können wir wieder das gleiche Modell verwenden, eben "3 verschiedene Kugeln ohne Berücksichtigung der Reihenfolge unter den 29 Nicht-Gewinner-Kugeln ziehen", also Möglichkeiten.
Wenn wir jetzt die günstigen Fälle betrachten, kommen wir auf ⋅ Möglichkeiten, weil ja jeder Fall der richtig getippten mit jedem Fall der falsch getippten kombiniert werden kann. Da ja die Anzahl der insgesamt möglichen Fälle für "6 Kugeln aus 35 Kugeln ziehen" ist, können wir nun die Wahrscheinlichkiet als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P = =
=
nur verschiedene (mit Zurücklegen)
Beispiel:
Ein Zahlenschloss hat 5 Drehscheiben, auf denen jeweils die Zahlen von 1 bis 8 einstellbar sind. Es wird mit verbundenen Augen eine zufällige Zahlen-Kombination eingestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei keine Zahl mehrfach vorkommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden - keine Prozentzahl)
Anzahl der möglichen Fälle
Man erkennt schnell, dass es für jedes Feld (hier: Zahlenschlossrad) 8 Möglichkeiten gibt, die sich mit den 8 Möglichkeiten jedes anderen Feldes (Zahlenschlossrad) kombinieren lassen, so dass es insgesamt 8⋅8⋅...⋅8 = 85 Möglichkeiten für eine Zahlenschlosseinstellungen gibt.
Anzahl der günstigen Fälle
Für die Anzahl der günstigen (oder gesuchten) Möglichkeiten suchen wir also alle möglichen Kombinationen, bei denen 5 verschiedene Zahlen auftreten.
Es gibt
Bei jeder dieser
Insgesamt kommen wir so auf
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit können wir somit als Quotient der günstigen Fälle durch alle möglichen Fälle berechnen:
P =
Ohne Zurücklegen rückwärts
Beispiel:
In einem Behälter sind 7 rote und ein unbekannte Zahl n blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne zurücklegen eine Kugel gezogen. Dabei beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen, P(b-b) =
Insgesamt sind also n + 7 Kugeln im Behälter.
Die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim ersten Versuch ist damit:
Wenn dann auch tatsächlich
"blau" aufgetreten ist, ist die Wahrscheinlichkeit für "blau" beim zweiten Versuch ist dann:
Die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen ist also
D=R\{
|
= |
|
Wir multiplizieren den Nenner
|
= |
|
|⋅(
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|⋅ 15 |
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
n1,2 =
n1,2 =
n1,2 =
n1 =
n2 =
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
Es waren also 3 blaue Kugeln im Behälter.
2 Urnen
Beispiel:
In einem Kartenstapel A sind 3 Herz-Karten und 2 Kreuz-Karten. Im Kartenstapel B sind 4 Herz- und 6 Kreuz-Karten. Es wird eine Karte zufällig aus dem Stapel A gezogen und auf den Stapel B gelegt. Nach längerem Mischen werden dann die obersten beiden Karten vom Stapel B gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese beiden aus dem Stapel B gezogenen Karten Kreuz-Karten sind.
Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Stapel B nach der ersten Ziehung aus Stapel A bestückt ist:
1. Möglichkeit: 5 Herz und 6 Kreuz
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Herz Karte gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, können wir über ein Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, bestimmen:
P(Kreuz-Kreuz) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Herz
Karte von Stapel A gezogen wurde:
P1 =
2. Möglichkeit: 4 Herz und 7 Kreuz
Diese Möglichkeit tritt ein, wenn aus Stapel A eine Kreuz Karte gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Fall überhaupt eintritt, ist
Wenn dann dieser Fall eingetreten ist, verändern sich am Baumdiagramm eben die Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen, ist in diesem Fall dann:
P(Kreuz-Kreuz) =
Insgesamt gilt also für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen wenn zuvor eine Kreuz
Karte von Stapel A gezogen wurde:
P2 =
Beide Möglichkeiten zusammen:
Insgesamt gilt somit für die Wahrscheinlichkeit, zwei Kreuz-Karten zu ziehen:
P = P1 + P2 =