$\text{f(x)}=$ $4x^2·\cos \left(-2x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $4·2x·\cos \left(-2x\right)+4x^2·(-\sin \left(-2x\right)·\left(-2\right))$

= $8x·\cos \left(-2x\right)+4x^2·2\cdot \sin \left(-2x\right)$

= $8x·\cos \left(-2x\right)+8x^2·\sin \left(-2x\right)$

$\text{f(x)}=$ $-5x^2·\sin \left(-5x\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-5·2x·\sin \left(-5x\right)-5x^2·\cos \left(-5x\right)·\left(-5\right)$

= $-10x·\sin \left(-5x\right)-5x^2·\left(-5\cdot \cos \left(-5x\right)\right)$

= $-10x·\sin \left(-5x\right)+25x^2·\cos \left(-5x\right)$

= ${\left[-\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3x\right)\right]}_0^{\frac{3}{2}\pi }$

$=$ $-\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)\right)+\frac{4}{3}\cdot \cos \left(-3\cdot \left(0\right)\right)$

= $-\frac{4}{3}\cdot 0+\frac{4}{3}\cdot 1$

= $0+\frac{4}{3}$

= $0+\frac{4}{3}$

= $\frac{4}{3}$

Die Originalfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=sin(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste steigender Wendepunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Tiefpunkt ist bei sin(x) nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{9}{2}\pi$ ≈ $\frac{9}{2}\pi$. .

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Tiefpunkt ist also eine Amplitude (a=3) unter 3, also bei y=0.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Tiefpunkt bei ( $\frac{9}{2}\pi$|0)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P(0|3).

Mit Hilfe von b=3 und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{3}$ = $\frac{2}{3}\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $\frac{1}{6}\pi$ ≈ $\frac{1}{6}\pi$. und bei x₂= $\frac{1}{2}\pi$ ≈ $\frac{1}{2}\pi$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $\frac{4}{3}\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\frac{1}{6}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{5}{6}\pi$ und $\frac{1}{2}\pi +\frac{2}{3}\pi$ = $\frac{7}{6}\pi$ eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\frac{1}{6}\pi$|3) und einen bei ( $\frac{1}{2}\pi$|3) und einen bei ( $\frac{5}{6}\pi$|3) und einen bei ( $\frac{7}{6}\pi$|3)

Die Originalfunktion f(x)=cos(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Wir erkennen relativ gut am Term, dass der Graph von f gegenüber dem von g(x)=cos(x) um d=3 in y-Richtung und um c= $-3$ nach rechts verschoben ist.

Der erste Hochpunkt wäre also im Punkt P( $-3$|4).

Mit Hilfe von b=$\frac{1}{3}$ und der Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ erhalten wir als Periode:
p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>}}$ = $6\pi$

Der gesuchte Wendepunkt ist bei cos(x) nach einem Viertel und nach Dreiviertel der Periode,
also bei x₁= $-3$ + $\frac{3}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{1,712}$. und bei x₂= $-3$ + $\frac{9}{2}\pi$ ≈ $\mathrm{11,137}$. .

Weil das gesuchte Interval [0; $12\pi$) zwei Perioden umfasst, ist auch noch $\mathrm{1,712}+6\pi$ ≈ 20.562 und $\mathrm{11,137}+6\pi$ ≈ 29.987 eine Lösung.

Die Funktion schwingt wegen d=3 um y=3. Der y-Wert des Wendepunkt ist also gerade 3.

Wir erhalten also als Ergebnis einen Wendepunkt bei ( $\mathrm{1,712}$|3) und bei ( $\mathrm{11,137}$|3) und bei (20.562|3) und bei (29.987|3)

Um die Nullstellen zu erhalten, setzen wir einfach f(x)=0.

Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

Der WTR liefert nun als Wert 1.9823131728624

1. Fall:

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos \left(\frac{3}{4}x\right)$ = $-\mathrm{0,4}$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\mathrm{1,982}$
bzw. bei - $\mathrm{1,982}$+2π= $\mathrm{4,301}$ liegen muss.

2. Fall:

L={ $\mathrm{2,6427}$; $\mathrm{5,7347}$}

Die Nullstellen in der Periode [0; $\frac{8}{3}\pi$) sind also
bei x₁ = $\mathrm{2,6427}$ und x₂ = $\mathrm{5,7347}$.

1. Periodenlänge

   Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{2}{3}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

   Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 3

2. t-Werte mit f(t) ≥ 79

   Um das gesuchte Intervall zu bestimmen, müssen wir erst die Stellen bestimmen, an denen der Funktionswert unserer Sinus-Funktion gerade den Wert 79 hat. Wir setzen also den Funktionsterm mit 79 gleich:

   $30\cdot \sin \left(\frac{2}{3}\pi t\right)+70$ = 79

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)+70$ = $79$ | $-70$

   $30\cdot \sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$

   =

   $9$

   |:$30$

   canvas

   $\sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$

   =

   $\mathrm{0,3}$

   |sin-1(⋅)

   Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

   1. Fall:

   $\mathrm{2,0944}x$	=	$\mathrm{0,305}$	|:$\mathrm{2,0944}$
   x1	=	$\mathrm{0,1456}$

   Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin \left(\mathrm{2,0944}t\right)$ = $\mathrm{0,3}$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

   Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\mathrm{0,305}$= $\mathrm{2,837}$ liegen muss.

   2. Fall:

   $\mathrm{2,0944}x$	=	$\mathrm{2,837}$	|:$\mathrm{2,0944}$
   x2	=	$\mathrm{1,3546}$

   Die Sinus-Funktion startet zu Beginn nach oben und erreicht erstmals nach 0.15 s den Wert 79. Danach steigt sie weiter bis zum Hochpunkt und sinkt dann wieder bis sie nach 1.35 s zum zweiten mal den Wert 79 erreicht. Während dieser 1.35 - 0.15 = 1.2 s ist der Wert der Funktion also höher als 79.