Aufgabenbeispiele von LGS
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Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme x so, dass (x|-5) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:
= | | | ||
= | |: | ||
= |
Die Lösung ist somit: (2|-5)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-4)
denn
-5⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|1)
denn -5⋅
Oder : (-4|-9)
denn -5⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x
durch
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= |
|
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|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x =
Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = -5
Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
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= |
|
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= |
|
|⋅ 3 |
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= |
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= |
|
|
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|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 2
Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 4
Die Lösung des LGS ist damit: (-2|4)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -1 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
-2x
-3x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:
-2x
-3x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
-2x
-3x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = 6
Die Lösung des LGS ist damit: (6|-4)
LGS Anwendungen
Beispiel:
Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 23. Wenn man aber vom 2-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -5. Bestimme x und y.
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x
durch (
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|:( |
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für y.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
x =
=
=
also
x = 5
Die Lösung des LGS ist damit: (5|3)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
x (x-Wert): 5
y (y-Wert): 3