D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{16}{x}$	=	$x$	|⋅( $x$)
$\frac{16}{x}·x$	=	$x·x$
$16$	=	$x·x$
$16$	=	$x^2$

$16$	=	$x^2$	| $-16$ $-x^2$
$-x^2$	=	$-16$	|: $\left(-1\right)$
$x^2$	=	$16$	|
x1	=	$-\sqrt{16}$	= $-4$
x2	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-4$; $4$}

D=R\{ $-2$}

Wir multiplizieren den Nenner $x+2$ weg!

$\frac{5x+1}{x+2}$	=	$4x$	|⋅( $x+2$)
$\frac{5x+1}{x+2}·\left(x+2\right)$	=	$4x·\left(x+2\right)$
$5x+1$	=	$4x\left(x+2\right)$
$5x+1$	=	$4x^2+8x$

$5x+1$

=

$4x^2+8x$

| $-4x^2$ $-8x$

$-4x^2-3x+1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{{\left(-3\right)}^2-4·\left(-4\right)·1}}{2\cdot \left(-4\right)}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{9+16}}{-8}$

x_1,2 = $\frac{+3\pm \sqrt{25}}{-8}$

x₁ = $\frac{3+\sqrt{25}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-8}$ = $-1$

x₂ = $\frac{3-\sqrt{25}}{-8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-8}$ = $\mathrm{0,25}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-1$; $\mathrm{0,25}$}

D=R\{ $-3$}

$-\frac{8x}{x+3}-2$

=

$-2x$

Wir multiplizieren den Nenner $x+3$ weg!

$-\frac{8x}{x+3}-2$	=	$-2x$	|⋅( $x+3$)
$-\frac{8x}{x+3}·\left(x+3\right)-2·\left(x+3\right)$	=	$-2x·\left(x+3\right)$
$-8x-2x-6$	=	$-2x\left(x+3\right)$
$-10x-6$	=	$-2x^2-6x$

$-10x-6$

=

$-2x^2-6x$

| $+2x^2$ $+6x$

$2x^2-4x-6$ = 0 |:2

$x^2-2x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-1$; $3$}

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^2$ weg!

$1$	=	$\frac{7}{x}-\frac{10}{x^2}$	|⋅( $x^2$)
$1·x^2$	=	$\frac{7}{x}·x^2-\frac{10}{x^2}·x^2$
$x^2$	=	$7x-10$

$x^2$

=

$7x-10$

| $-7x$ $+10$

$x^2-7x+10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{{\left(-7\right)}^2-4·1·10}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{49-40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+7\pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7+\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7-\sqrt{9}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$; $5$}

D=R\{ $4$}

$\frac{x}{2x-8}+\frac{\mathrm{4,5}}{x-4}$	=	$-2x$
$\frac{x}{2\left(x-4\right)}+\frac{\mathrm{4,5}}{x-4}$	=	$-2x$	|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2\left(x-4\right)$ weg!

$\frac{x}{2\left(x-4\right)}+\frac{\mathrm{4,5}}{x-4}$	=	$-2x$	|⋅( $2\left(x-4\right)$)
$\frac{x}{2\left(x-4\right)}·\left(2\left(x-4\right)\right)+\frac{\mathrm{4,5}}{x-4}·\left(2\left(x-4\right)\right)$	=	$-2x·\left(2\left(x-4\right)\right)$
$x+9$	=	$-4x\left(x-4\right)$
$x+9$	=	$-4x^2+16x$

$x+9$

=

$-4x^2+16x$

| $+4x^2$ $-16x$

$4x^2-15x+9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+15\pm \sqrt{{\left(-15\right)}^2-4·4·9}}{2\cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+15\pm \sqrt{225-144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+15\pm \sqrt{81}}{8}$

x₁ = $\frac{15+\sqrt{81}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{15-\sqrt{81}}{8}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>15</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{8}$ = $\mathrm{0,75}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\mathrm{0,75}$; $3$}

D=R\{0}

$a+x$ = $-\frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a+x$	=	$-\frac{12}{x}$	|⋅x
$a·x+x·x$	=	$-\frac{12}{x}·x$
$ax+x^2$	=	$-12$
$ax+x^2+12$	=	0
$x^2+ax+12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^2+ax+12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2·6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $-\left(2+6\right)$ = $-8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^2-8x+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·12}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$; $6$}