Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-\left(x+1\right)\left(x-3\right)$ = 0 ist.

$-\left(x+1\right)\left(x-3\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-\left(x+1\right)\left(x-3\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-\left(x+1\right)\left(x-3\right)$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-\left(x+1\right)\left(x-3\right)$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $-\left(-2+1\right)·\left(-2-3\right)$ = $-5$ < 0
Für -1 < x < 3: f(0) = $-\left(0+1\right)·\left(0-3\right)$ = $3$ > 0
Für x > 3: f(4) = $-\left(4+1\right)·\left(4-3\right)$ = $-5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-\left(x+1\right)\left(x-3\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-\left(x+1\right)\left(x-3\right)$ > 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -1 und x < 3.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x^2+6x-9$ = 0 ist.

$-x^2+6x-9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·\left(-1\right)·\left(-9\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-36}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-x^2+6x-9$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x^2+6x-9$ = 0 (x = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) unterhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $-x^2+6x-9$ ≥ 0 für kein x außer für x = 3.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 3: f(0) = $-0^2+6\cdot 0-9$ = $-9$ < 0
Für x > 3: f(4) = $-4^2+6\cdot 4-9$ = $-1$ < 0
Also gilt die Ungleichung $-x^2+6x-9$ ≥ 0 in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $-x^2+6x-9$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $-x^2+6x-9$ ≥ 0 gehört, ist x=3 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{3}

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x^2+5x-7$ = $3x-5$ ist.

$-x^2+5x-7$

=

$3x-5$

| $-3x$ $+5$

$-x^2+2x-2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·\left(-1\right)·\left(-2\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{-2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-x^2+5x-7$ und $\text{g(x)}=$ $3x-5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x^2+5x-7$ = $3x-5$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $3x-5$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $3x-5$ oder alle unter der Geraden y= $3x-5$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $3x-5$ liegen.
Die Ungleichung $-x^2+5x-7$ < $3x-5$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $3x-5$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $-x^2+5x-7$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $-0^2+5\cdot 0-7$ = $-7$ < $-5$ = $3\cdot 0-5$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $-x^2+5x-7$ < $3x-5$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)