$-2\sqrt{x}$

=

$4$

|:($-2$)

$\sqrt{x}$ = $-2$

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

$\sqrt{x+13}-x$	=	$1$	| $+x$
$\sqrt{x+13}$	=	$x+1$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x+13$	=	${\left(x+1\right)}^2$

$x+13$

=

$x^2+2x+1$

| $-x^2$ $-2x$ $-1$

$-x^2-x+12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·\left(-1\right)·12}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{1+48}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+1\pm \sqrt{49}}{-2}$

x₁ = $\frac{1+\sqrt{49}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{-2}$ = $-4$

x₂ = $\frac{1-\sqrt{49}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-4$

Linke Seite: x = $-4$ in $\sqrt{x+13}-x$ $=$ $\sqrt{-4+13}-\left(-4\right)$ = $\sqrt{9}+4$ = $3+4$ = $7$

Rechte Seite: x = $-4$ in $1$ $=$ $1$

Also 7 ≠ 1

x = $-4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $\sqrt{x+13}-x$ $=$ $\sqrt{3+13}-3$ = $\sqrt{16}-3$ = $4-3$ = $1$

Rechte Seite: x = $3$ in $1$ $=$ $1$

Also 1 = 1

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$}

$\sqrt{37x+558}$	=	$3\sqrt{4x+61}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$37x+558$	=	${\left(3\sqrt{4x+61}\right)}^2$

$37x+558$	=	$9\left(4x+61\right)$
$37x+558$	=	$36x+549$	| $-558$
$37x$	=	$36x-9$	| $-36x$
$x$	=	$-9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-9$

Linke Seite: x = $-9$ in $\sqrt{37x+558}$ $=$ $\sqrt{37\cdot \left(-9\right)+558}$ = $\sqrt{-333+558}$ = $\sqrt{225}$ = $15$

Rechte Seite: x = $-9$ in $3\sqrt{4x+61}$ $=$ $3\sqrt{4\cdot \left(-9\right)+61}$ = $3\sqrt{-36+61}$ = $3\sqrt{25}$ = $15$

Also 15 = 15

x = $-9$ ist somit eine Lösung !

L={ $-9$}

$\sqrt{5x-24}$	=	$\sqrt{x-4}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5x-24$	=	${\left(\sqrt{x-4}+2\right)}^2$

$5x-24$	=	$4\sqrt{x-4}+x$	| $-5x$ $+24$ $-4\sqrt{x-4}$
$-4\sqrt{x-4}$	=	$-4x+24$	|:($-4$)
$\sqrt{x-4}$	=	$x-6$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x-4$	=	${\left(x-6\right)}^2$

$x-4$

=

$x^2-12x+36$

| $-x^2$ $+12x$ $-36$

$-x^2+13x-40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-13\pm \sqrt{{13}^2-4·\left(-1\right)·\left(-40\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-13\pm \sqrt{169-160}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-13\pm \sqrt{9}}{-2}$

x₁ = $\frac{-13+\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

x₂ = $\frac{-13-\sqrt{9}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>13</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-16}{-2}$ = $8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{5x-24}$ $=$ $\sqrt{5\cdot 5-24}$ = $\sqrt{25-24}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $5$ in $\sqrt{x-4}+2$ $=$ $\sqrt{5-4}+2$ = $\sqrt{1}+2$ = $1+2$ = $3$

Also 1 ≠ 3

x = $5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite: x = $8$ in $\sqrt{5x-24}$ $=$ $\sqrt{5\cdot 8-24}$ = $\sqrt{40-24}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $8$ in $\sqrt{x-4}+2$ $=$ $\sqrt{8-4}+2$ = $\sqrt{4}+2$ = $2+2$ = $4$

Also 4 = 4

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$}