$x^{-8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^8}$.

Also ist $x^{-8}$ das gleiche wie $1·\frac{1}{x^8}$ = $\frac{1}{x^8}$.

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[7]{x}\right)}^8$ = ${\left(x^{\frac{1}{7}}\right)}^8$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{7}}\right)}^8$ = x^{$\frac{1}{7}$⋅8} = $x^{\frac{8}{7}}$

$\frac{1}{x^2}$ kann man auch als $x^{-2}$ schreiben.

Also ist $-\frac{5}{x^2}$ = $-5·\frac{1}{x^2}$ das gleiche wie $-5x^{-2}$.

${25}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

$\frac{2^{42}}{2^{39}}$

= $2^{42-39}$

= $2^3$

= 8

${\mathrm{0,008}}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}$

= $\mathrm{0,2}$

${\left({16}^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$

= ${16}^{3·\left(-\frac{1}{2}\right)}$

= ${16}^{\frac{1}{2}·\left(-3\right)}$

= ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt{16}\right)}^3}$

= $\frac{1}{4^3}$

= $\frac{1}{64}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({\left(\sqrt[5]{x}\right)}^3·\sqrt[10]{x^{12}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{\frac{12}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${\left(x^{\frac{3}{5}+\frac{6}{5}}\right)}^{10}$

= ${\left(x^{\frac{9}{5}}\right)}^{10}$

= $x^{\frac{9}{5}·10}$

= $x^{18}$

$\frac{\frac{5}{s^3}}{9s^{-1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{s^3}}{\frac{9}{s}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{s^3}·\frac{s}{9}$

= $\frac{5}{9s^2}$