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Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (2 x + 5)$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \sin (2 x + 5)$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3} \cdot \cos (2 x + 5) \cdot (2 + 0)$

= $\frac{1}{3} \cdot \cos (2 x + 5) \cdot (2)$

= $\frac{2}{3} \cdot \cos (2 x + 5)$

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{{(\frac{1}{2} x + 2)}^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{{(\frac{1}{2} x + 2)}^{2}}$

= $- 2 {(\frac{1}{2} x + 2)}^{- 2}$

=> f'(x) = $4 {(\frac{1}{2} x + 2)}^{- 3} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

$f'(x) =$ $\frac{4}{{(\frac{1}{2} x + 2)}^{3}} \cdot (\frac{1}{2} + 0)$

= $\frac{4}{{(\frac{1}{2} x + 2)}^{3}} \cdot (\frac{1}{2})$

= $\frac{2}{{(\frac{1}{2} x + 2)}^{3}}$

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{2 x^{2} + 4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{2 x^{2} + 4}$

= $2 {(2 x^{2} + 4)}^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 {(2 x^{2} + 4)}^{- 2} \cdot (4 x + 0)$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(2 x^{2} + 4)}^{2}} \cdot (4 x + 0)$

= $- \frac{2}{{(2 x^{2} + 4)}^{2}} \cdot (4 x)$

= $- 8 \frac{x}{{(2 x^{2} + 4)}^{2}}$

Verkettung vorwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts f(1) = -1 entnehmen.

Also gilt h(1) = g(f(1)) = g(-1)

g(-1) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(1) = g(f(1)) = g(-1) = -3.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 0 gilt.

Lösung einblenden

Wenn wir auf der y-Achse bei y = 0 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(0|0), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
0 = g(0)
Wegen 0 = h(x)= g(f(x))= g(0) gilt also f(x) = 0.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =0 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(-2|0) und Q₂(2|0), also bei
x₁ = -2 und x₂ = 2

Verkettung von f und f' (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $- \frac{5}{2}$ .

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(1) + f '(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = -3 + 2 = $- 1$ .

nur Produktregel ohne e-Fktn

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot \sin (x)$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\frac{1}{x} \cdot \sin (x)$

= $x^{- 1} \cdot \sin (x)$

=> f'(x) = $- x^{- 2} \cdot \sin (x) + x^{- 1} \cdot \cos (x)$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \sin (x) + \frac{1}{x} \cdot \cos (x)$

= $- \frac{\sin (x)}{x^{2}} + \frac{\cos (x)}{x}$

Ketten- und Produktregel (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot \sqrt{- 2 x - 1}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $(x^{2} - 9) \cdot \sqrt{- 2 x - 1}$

= $(x^{2} - 9) \cdot {(- 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $(2 x + 0) \cdot {(- 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + (x^{2} - 9) \cdot \frac{1}{2} {(- 2 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 + 0)$

$f'(x) =$ $(2 x + 0) \cdot \sqrt{- 2 x - 1} + (x^{2} - 9) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 1}} \cdot (- 2 + 0)$

= $2 x \cdot \sqrt{- 2 x - 1} + (x^{2} - 9) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{- 2 x - 1}} \cdot (- 2)$

= $2 x \sqrt{- 2 x - 1} + (x^{2} - 9) \cdot (- \frac{1}{\sqrt{- 2 x - 1}})$

= $2 x \sqrt{- 2 x - 1} - \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{- 2 x - 1}}$

Ketten- und Produktregel (LF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (x^{3})$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $\sqrt{x} \cdot \cos (x^{3})$

= $x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{3})$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos (x^{3}) + x^{\frac{1}{2}} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \cos (x^{3}) + \sqrt{x} \cdot (- \sin (x^{3}) \cdot 3 x^{2})$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x^{3})}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (- 3 \sin (x^{3}) x^{2})$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x^{3})}{\sqrt{x}} - 3 \sqrt{x} \sin (x^{3}) x^{2}$

= $\frac{1}{2} \frac{\cos (x^{3})}{\sqrt{x}} - 3 {(\sqrt{x})}^{5} \cdot \sin (x^{3})$

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $2 (x + 1)$ und der Graph einer Funktion g (in der Abblidung rechts). Die Funktion h ist eine Verkettung von f und g mit h = f ∘ g.

Wie viele verschiedene Nullstellen hat die Funktion h im abgebildeten Bereich?

Lösung einblenden

Zuerst bestimmen wir die Nullstellen der Funktion f:

$2 (x + 1)$	=	0
$2 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Das bedeutet, dass f(-1)=0 gilt - und es kein weiteres x gibt mit f(x)=0.
Wir suchen ja aber die x, für die h(x)=f(g(x))= 0 ist.
Also müssen dies doch gerade die x-Werte sein, für die g(x) = -1 gilt, denn dann gilt ja f(g(x)) = f( -1) = 0.

Wir schauen also am abgebildeten Graph, wie viele Lösungen die Gleichung g(x) = -1 besitzt.

Man erkennt - notfalls durch Einzeichnen einer Geraden y = -1, dass dies gerade 4 Schnittpunkte sind.

Das heißt, dass diese 4 x-Werte dieser Schnittpunkte alle Lösungen von f(g(x)) = f( -1) = 0 und somit alle Nullstellen der verketteten Funktion h = f ∘ g sind.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abblidung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 0.
(also gilt g(-4) = g(-4) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -4, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + 0⋅g'(-4) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

Beispiel:

Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 8$
und der Graph einer Funktion g (in der Abblidung rechts).

Die Funktion h ist ein Produkt von f und g, also h(x) = f(x)⋅g(x).

Man kann ohne Kenntnis der Funktionsterms von g eine Stelle finden, an der der Graph der Funktion h eine waagrechte Tangent besitzt. Gib diese an.

Lösung einblenden

Wenn h(x) eine waagrechte Tangente haben soll, muss an dieser Stelle h'(x)=0 gelten. Wegen der Produktregel wissen wir, dass

h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x) = ( $2 x + 2$ )⋅g(x) + ( $x^{2} + 2 x - 8$ )⋅g'(x)

gilt.

Die wahrscheinlich einfachste Möglichkeit, dass dieser Term den Wert 0 hat, ist, wenn eben beide Summanden = 0 sind.

Wegen des Satzes vom Nullprodukt, betrachten wir nun alle Nullstellen der 4 Einzelterme:

Am Graph von g erkennen wir schnell die Nullstellen von g bei x = -4 und bei x = 0.
(also gilt g(-4) = g(-4) = 0).

Wenn wir nun noch die Null- und Extremstellen von f berechnen, finden wir vielleicht eine Stelle bei der beide Summanden der Produktregel =0 sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Wir haben also sowohl bei f als auch bei g eine eine Nullstelle bei x = -4, wodurch in beiden Summanden der Produktregel eine Null als Faktor vorhanden ist.
es gilt also h'(-4) = f'(-4)⋅g(-4) + f(-4)⋅g'(-4) = f'(-4)⋅0 + 0⋅g'(-4) = 0.

Damit hat h an der Stelle x = -4 eine waagrechte Tangente.

Aufgabenbeispiele von Ketten- und Produktregel

Kettenregel ohne e-Fktn (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn 2 (BF)

Kettenregel ohne e-Fktn (LF)

Verkettung vorwärts

Verkettung rückwärts

Verkettung von f und f' (ohne F)

Summe f(x) und f'(x) (ohne F)

nur Produktregel ohne e-Fktn

Ketten- und Produktregel (BF)

Ketten- und Produktregel (LF)

Anzahl Nullstellen bei Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung

waagr. Tang. bei Produkt/Verkettung