$\text{f(x)}=$ $-5+\frac{8}{7}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f'(x)}=$ $0+\frac{8}{7}{e}^{\frac{5}{8}x}·\frac{5}{8}$

= $\frac{5}{7}{e}^{\frac{5}{8}x}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{-x-5}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{-x-5}+x^5·e^{-x-5}·\left(-1\right)$

= $5x^4·e^{-x-5}+x^5·\left(-e^{-x-5}\right)$

= $5x^4·e^{-x-5}-x^5·e^{-x-5}$

= $e^{-x-5}·\left(5x^4-x^5\right)$

= $e^{-x-5}·\left(-x^5+5x^4\right)$

= $\left(-x^5+5x^4\right)·e^{-x-5}$

$\text{f(x)}=$ $x^5·e^{2x-1}$

$\text{f'(x)}=$ $5x^4·e^{2x-1}+x^5·e^{2x-1}·2$

= $5x^4·e^{2x-1}+x^5·2e^{2x-1}$

= $5x^4·e^{2x-1}+2x^5·e^{2x-1}$

= $e^{2x-1}·\left(5x^4+2x^5\right)$

= $e^{2x-1}·\left(2x^5+5x^4\right)$

= $\left(2x^5+5x^4\right)·e^{2x-1}$

$\text{f(x)}=$ $\ln \left(-x^2-1\right)$

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{-x^2-1}·\left(-2x+0\right)$

= $\frac{1}{-x^2-1}·\left(-2x\right)$

= $-2\frac{x}{-x^2-1}$

$\text{f(x)}=$ $\cos \left(3x^2-2\right)$

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(3x^2-2\right)·\left(6x+0\right)$

= $-\sin \left(3x^2-2\right)·\left(6x\right)$

= $-6\sin \left(3x^2-2\right)x$

= $-6x·\sin \left(3x^2-2\right)$

Wir leiten f einfach mal ein paar mal ab und unteruschen, ob wir ein System erkennen können.

f(x) = $-e^{-\mathrm{0,95}x}$

f'(x) = $-e^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f''(x) = $\mathrm{0,95}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f'''(x) = $-\mathrm{0,9025}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

f⁽⁴⁾(x) = $\mathrm{0,8574}{e}^{-\mathrm{0,95}x}·\left(-\mathrm{0,95}\right)$ = $-\mathrm{0,8145}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

...

Wir erkennen, dass der Funktionsterm bei jeder Ableitung mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert wird. Bei der 77-ten Ableitung wurde also die Originalfunktion 77 mal mit $-\mathrm{0,95}$ multipliziert, also insgeamt mit ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{77}$

Somit gilt für die 77-te Ableitung:

f⁽⁷⁷⁾(x) = ${\left(-\mathrm{0,95}\right)}^{77}·\left(-e^{-\mathrm{0,95}x}\right)$

≈ $\mathrm{0,019}{e}^{-\mathrm{0,95}x}$

$\text{f(x)}=$ $\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3x$

$\text{f'(x)}=$ $\left(1+0\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}\right)-3$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}+\left(x-2\right)·\left(-\mathrm{0,6}{e}^{-\mathrm{0,6}x}\right)-3$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}\left(x-2\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}-3$

= $e^{-\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,2}+1\right)-3$

= $-3+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{1,2}+1\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$

= $-3+\left(-\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,2}\right)·e^{-\mathrm{0,6}x}$