Aufgabenbeispiele von allgemein
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Term mit Eigenschaften finden
Beispiel:
Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
- gemeinsame Punkte mit der x-Achse: N1(-2|0) und N2(0|0)
- Verhalten für x → ∞: f(x) → -∞
Als erstes stellen wir einen Term auf, der die geforderten Nullstellen besitzt. Dazu bekommt jede Nullstelle ihren Linearfaktor, also .
Jetzt betrachten wir das Verhalten für x → ± ∞ :
Da bei unserem bisherigen Term
=
für x → +∞ : f(x) gegen +∞ und nicht wie
gefordert gegen -∞ strebt, müssen wir den Term noch mit -1 multiplizieren, damit er alle Eigenschaften erfüllt:
=
Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet
Nullstellen und Faktorisieren
Beispiel:
Bestimme alle Nullstellen der Funktion f mit und gib f in Linearfaktordarstellung an.
Nullstellen sind die x-Werte, an denen der Funktionswert 0 beträgt, es muss also gelten:
f(x)=0
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Rücksubstitution:
u1: =
| = | | |
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
u2: =
| = | | | ||
| x2 | = | = | |
| x3 | = | = |
L={
;
Eine Mehrfachheit der Nullstellen muss natürlich auch in der faktorisierten Darstellung berücksichtigt werden.
Wenn wir den substituierten Term anschauen, können wir ja auch den erst mal noch faktorisieren:
=nach Substitution = =nach Re-Substitution
Somit gilt für die faktorisierte Darstellung:
=
Anwendungen
Beispiel:
Ein Getränk wird aus dem Kühlschrank genommen und erwärmt sich. Die Temperatur des Getränks zur Zeit t kann für t ≥ 0 durch die Funktion f mit beschrieben werden; f(t) in °C, t in Minuten nach Beobachtungsbeginn.
- Welche Temperatur hat das Getränk langfristig?
- Wann hat das Getränk die Temperatur von 19 erreicht?
- Verhalten für t gegen unendlich
Gesucht ist das Verhalten der Funktionswerte bei sehr großen t-Werten, also das Verhalten von f für t → ∞.
Für t → ∞ ⇒ f(t)= →
Das langfristige Verhalten der Funktionswerte geht also gegen .
- Erster t-Wert bei y = 19
Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Funktion die Werte y=19 annimmt.
Dazu setzen wir die Funktion einfach = 19 und lösen nach t auf:
= = | = |: = |ln(⋅) = |: = ≈ 0.9902 Der erste Zeitpunkt an dem die die Funktion den Wert 19 annimmt, ist also nach 0.99 min.