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Exponentialgl. elementar

Beispiel:

Löse die Gleichung ohne WTR: $e^{6 x - 11}$ = $e$

$e^{6 x - 11}$ = $e$

Zuerst versuchen wir den Term rechts auch als Exponentialterm zu schreiben.

$e^{6 x - 11}$ = $e^{1}$

Wir erkennen, dass links und rechts Exponentialterme mit gleicher Basis e stehen.
Diese Terme sind genau dann gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind. Deswegen setzen wir einfach nur diese gleich:

$6 x - 11$	=	$1$	\| $+ 11$
$6 x$	=	$12$	\|: $6$
$x$	=	$2$

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 e^{- x}$ = $3$

Lösung einblenden

$4 e^{- x}$	=	$3$	\|: $4$
$e^{- x}$	=	$\frac{3}{4}$	\|ln(⋅)
$- x$	=	$\ln (\frac{3}{4})$	\|: $- 1$
$x$	=	$- \ln (\frac{3}{4})$	≈ 0.2877

L={ $- \ln (\frac{3}{4})$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 e^{- 2 x} + 4 e^{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 e^{- 2 x} + 4 e^{- 3 x}$	=	0
$(- 3 e^{x} + 4) e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 3 e^{x}$	=	$- 4$	\|: $- 3$
$e^{x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (\frac{4}{3})$	≈ 0.2877

2. Fall:

e^{- 3 x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (\frac{4}{3})$ }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 2 e^{x} - 8$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 2 e^{x} - 8

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $4$

$e^{x}$	=	$4$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (4)$	≈ 1.3863
x₁	=	$2 \ln (2)$

u₂: $e^{x}$ = $- 2$

e^{x}

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2 \ln (2)$ }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + 3 e^{- x} - 4 e^{- 2 x}$ = 0

Lösung einblenden

1 + 3 e^{- x} - 4 e^{- 2 x}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$3 e^{- x} - 4 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} + 3 e^{x} - 4$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 4$

e^{x}

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgl. vermischt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$(- 3 e^{5 x} + 4) \cdot (x^{4} - 7 x^{3})$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 e^{5 x} + 4) (x^{4} - 7 x^{3})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 3 e^{5 x} + 4$	=	0	\| $- 4$
$- 3 e^{5 x}$	=	$- 4$	\|: $- 3$
$e^{5 x}$	=	$\frac{4}{3}$	\|ln(⋅)
$5 x$	=	$\ln (\frac{4}{3})$	\|: $5$
x₁	=	$\frac{1}{5} \ln (\frac{4}{3})$	≈ 0.0575

2. Fall:

$x^{4} - 7 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x - 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={0; $\frac{1}{5} \ln (\frac{4}{3})$ ; $7$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Aufgabenbeispiele von Exponentialgleichungen

Exponentialgl. elementar

Exponentialgleichungen (einfach)

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Exponentialgl. Substitution BF

Exponentialgl. Substitution

Exponentialgl. vermischt