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Aufgabenbeispiele von Trigonometrische Gleichungen

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-2⋅ cos( 3x + 3 2 π) -3 = -3

Lösung einblenden
-2⋅ cos( 3x + 3 2 π) -3 = -3 | +3
-2⋅ cos( 3x + 3 2 π) = 0 |:-2
canvas
cos( 3x + 3 2 π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3x + 3 2 π = 1 2 π

oder

3x + 3 2 π = 1 2 π+2π
3x + 3 2 π = 5 2 π |⋅ 2
2( 3x + 3 2 π) = 5π
6x +3π = 5π | -3π
6x = 2π |:6
x1 = 1 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x + 3 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

3x + 3 2 π = 3 2 π |⋅ 2
2( 3x + 3 2 π) = 3π
6x +3π = 3π | -3π
6x = 0 |:6
x2 = 0

L={0; 1 3 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
( cos( x ) -1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) -1 = 0 | +1 canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; π }

0 ist 2-fache Lösung!

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ cos( x - π) = 1,8

Lösung einblenden
3⋅ cos( x - π) = 1,8 |:3
canvas
cos( x - π) = 0,6 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

x - π = 0,927 | + π
x1 = 0,927 + π
x1 = 4,0686

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x - π) = 0,6 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,927
bzw. bei - 0,927 +2π= 5,356 liegen muss.

2. Fall:

x - π = 5,356

oder

x - π = 5,356 -2π | + π
x2 = 5,356 - π
x2 = 2,2144

L={ 2,2144 ; 4,0686 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
-3⋅ sin( x + 1 2 π) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
-3⋅ sin( x + 1 2 π) · ( sin( x ) -1 ) = 0
-3 sin( x + 1 2 π) ( sin( x ) -1 ) = 0
-3 ( sin( x ) -1 ) · sin( x + 1 2 π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

2. Fall:

canvas
sin( x + 1 2 π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + 1 2 π = 0

oder

x + 1 2 π = 2π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 4π
2x + π = 4π | - π
2x = 3π |:2
x2 = 3 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x + 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x + 1 2 π = π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 2π
2x + π = 2π | - π
2x = π |:2
x3 = 1 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

1 2 π ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; π ):
( sin( 2x + π) -1 ) · ( x -2 ) = 0

Lösung einblenden
( sin( 2x + π) -1 ) ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( 2x + π) -1 = 0 | +1 canvas
sin( 2x + π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x + π = 1 2 π

oder

2x + π = 1 2 π+2π
2x + π = 5 2 π | - π
2x = 3 2 π |:2
x1 = 3 4 π

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

L={ 2 ; 3 4 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 + sin( x ) -2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 + sin( x ) -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + u -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 2⋅1

u1,2 = -1 ± 1 +8 2

u1,2 = -1 ± 9 2

u1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

u2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 1

canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

u2: sin( x ) = -2

sin( x ) = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 2 π }