f(0) = $128$

f(1) = $128$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(2) = $128$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(3) = $128$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(4) = $128$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,5}$-fache, also auf $50$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=4000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B. Somit ist das a=1,02.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $4000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $4000\cdot {\mathrm{1,02}}^6$ ≈ 4504,65.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 6000 € ist, also f(t) = 6000:

$4000\cdot {\mathrm{1,02}}^t$	=	$6000$	|:$4000$
${\mathrm{1,02}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,02}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,02}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,02}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{20,4753}$

Nach ca. 20,475 Jahre ist also der Kontostand = 6000 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 10 Wochen der Bestand 2593.74 Nutzer ist, also f(10) = 2593.74. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ ein:

$1000a^{10}$	=	$2\mathrm{593,74}$	|:$1000$
$a^{10}$	=	$\mathrm{2,59374}$	|
a1	=	$-\sqrt[10]{\mathrm{2,59374}}$	= $-\mathrm{1,1}$
a2	=	$\sqrt[10]{\mathrm{2,59374}}$	= $\mathrm{1,1}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,1}$ ≈ 1.1 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $1000\cdot {\mathrm{1,1}}^5$ ≈ 1610,51.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer ist, also f(t) = 4000:

$1000\cdot {\mathrm{1,1}}^t$	=	$4000$	|:$1000$
${\mathrm{1,1}}^t$	=	$4$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,1}}^t\right)$	=	$\lg \left(4\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	=	$\lg \left(4\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(4\right)}{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,5451}$

Nach ca. 14,545 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 4000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$) ⋅ B = 1,25 ⋅ B. Somit ist das a=1,25.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,25}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Wochen der Bestand 52154.06 Nutzer ist, also f(9) = 52154.06. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,25}}^t$ ein:

c ⋅ 1.25⁹ = 52154.06

c ⋅ 7.45058 = 52154.06 | : 7.45058

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $7000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $7000\cdot {\mathrm{1,25}}^{10}$ ≈ 65192,58.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 107000 Nutzer ist, also f(t) = 107000:

$7000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$107000$	|:$7000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$\frac{107}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{107}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(\frac{107}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{107}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,2205}$

Nach ca. 12,221 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 107000 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,91}}^t$ ablesen: a=0.91.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.91($\frac{1}{2}$) ≈ 7.35 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 2.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2.9% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2.9}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2.9}{100}$) ⋅ B = 1,029 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,029.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.029($2$) ≈ 24.25 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 11.9 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{11,9}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{11,9}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{11,9}}}$ ≈ 1.06, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,06}}^t$