Aufgabenbeispiele von Anwendungen
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Integralanwendungen BF
Beispiel:
Die Bewegungsgeschwindigkeit eines Körpers lässt sich nährungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (in m/s, x in Sekunden) beschreiben. Nach s hat er bereits 7 m zurückgelegt. Wie weit ist er nach Sekunden?
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Integralanwendungen
Beispiel:
Aus einem Wasserhahn läuft Wasser mit der Auslaufgeschwindigkeit f(x)= (in Liter pro Minute) in einen Wassertank. Nach 2 Minuten sind 13 Liter im Tank. Wieviel Liter sind nach 5 Minuten darin?
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=
=
=
≈ 1006,072
Integralfunktion - Gleichung
Beispiel:
Bestimme u > 3 so, dass =
=
=
=
Diese Integralfunktion soll ja den Wert annehmen, deswegen setzen wir sie gleich :
= | | | ||
= | |: | ||
= | | | ||
u1 | = |
|
=
|
u2 | = |
|
=
|
Da u=
Maximaler Bestand rückwärts
Beispiel:
Der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) wird zu dem Zeitpunkt erreicht, an dem die Änderungsrate vom Positiven ins Negative wechselt, also wenn die Zunahme in eine Abnahme übergeht.
Wir suchen also eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel + nach -.
Wir wissen, dass bei der Sinus-Funktion die fallende Nullstelle nach einer halben Periode ist.
Die Periode von f ist p =
Da beim Sinus die Teilflächen über und unter der x-Achse gleich groß sind, wird dieser maximale Bestand zwar noch zu anderen Zeitpunkten erreicht, aber nie übertroffen.
Wir wissen nun, dass zum Zeitpunkt t = 4 der Bestand (Wassermenge im Tank) maximal ist.
Über die Fläche unter der Kurve können wir den gesamten Zuwachs bis zu diesem Zeitpunkt berechnen:
=
=
=
=
=
≈ 10,186
Der Zuwachs von Beginn bis zum Zeitpunkts des maximalen Bestands beträgt somit 10,186 m³
Wenn der maximale Bestand (Wassermenge im Tank) aber 50 m³ ist müssen ja zu Beginn bereits 50 m³ - 10,186 m³ ≈ 39,814 m³ vorhanden gewesen sein.
Der Anfangs-Wassermenge im Tank betrug demnach B0 = 39,814 m³.
Mittelwerte
Beispiel:
Die Temperatur an einem Wintertag kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)=
Wir berechnen den Mittelwert mit der üblichen Formel:
=
=
=
=
=
=
≈ 3,82
uneigentliche Integrale
Beispiel:
Der Graph der Funktion f mit f(x)=
Untersuche, ob der Flächeninhalt endlich ist und bestimme in diesem Fall diesen Flächeninhalt.
=
=
=
=
=
=
Für u → ∞ gilt: A(u) =
minimaler + maximaler Bestand (2 Kurven)
Beispiel:
- Der geringste Inhalt an Litern Wasser im abgebildeten Zeitraum sind ca. 19,8. Bestimme den Inhalt des Tanks in Litern Wasser bei Beobachtungsbeginn.
- Nach wie vielen Minuten ist am meisten Wasser im Tank?
Man erkennt schnell, dass von 0 bis 1 die Zuflussrate über der Abflussrate liegt, so dass hier das Wasservolumen zunimmt.
Von 1 bis 9 liegt dann die Abflussrate über der Zuflussrate, so dass hier das Wasservolumen abnimmt.
Von 9 bis 10 liegt dann wieder die Zuflussrate über der Abflussrate, so dass hier das Wasservolumen wieder zunimmt.
Die Werte der Zunahme (bzw. Abnahme) kann man an der Fläche zwischen den Kurven abzählen:
von 0 bis 1: ca. 0.5
Liter
von 1 bis 9: ca. -10.7 Liter
von 9 bis 10: ca. 0.5 Liter
- Anfangsbestand
Da das Wasservolumen zwischen t = 0 und seinem Tiefstand bei t = 9 (bevor es danach wieder zunimmt) erst 0.5 Liter zu- und dann wieder 10.7 Liter abgenommen hat, also insgesamt um |0.5-10.7| = 10.2 Liter weniger wurde, muss es beim Beobachtungsbeginn t = 0 bereits 19.8+10.2 = 30 Liter betragen haben.
- Zeitpunkt des größten Bestands
Nachdem das Wasservolumen zwischen t = 0 und t = 1 zugenommen hat, ist die Abnahme zwischen t = 1 und t = 9 jedoch größer als der Zuwachs zwischen t = 9 und t = 10, so dass der Höchststand von t = 1 nicht wieder erreicht wird.
Somit wird das Wasservolumen bei t = 1 min maximal.