Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 9
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 62 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 62 - 60 = 2.
Somit gilt: 62 mod 4 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 31 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 30, weil ja 10 ⋅ 3 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 31 - 30 = 1.
Somit gilt: 31 mod 3 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 7 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 21 und erhalten so 22.
Somit gilt: 22 ≡ 31 ≡ 1 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (146 + 72) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(146 + 72) mod 7 ≡ (146 mod 7 + 72 mod 7) mod 7.
146 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 146
= 140
72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72
= 70
Somit gilt:
(146 + 72) mod 7 ≡ (6 + 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 31) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(28 ⋅ 31) mod 5 ≡ (28 mod 5 ⋅ 31 mod 5) mod 5.
28 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 25 + 3 = 5 ⋅ 5 + 3 ist.
31 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 6 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(28 ⋅ 31) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
21 mod m = 31 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 31 mod m gilt:
m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 31 mod 2
m=3: 21 mod 3 = 0 ≠ 1 = 31 mod 3
m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 31 mod 4
m=5: 21 mod 5 = 1 = 1 = 31 mod 5
m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 1 = 31 mod 6
m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 3 = 31 mod 7
m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 7 = 31 mod 8
m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 4 = 31 mod 9
m=10: 21 mod 10 = 1 = 1 = 31 mod 10
m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 9 = 31 mod 11
m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 7 = 31 mod 12
m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 5 = 31 mod 13
m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 3 = 31 mod 14
m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 1 = 31 mod 15
m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 15 = 31 mod 16
m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 14 = 31 mod 17
m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 13 = 31 mod 18
m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 12 = 31 mod 19
m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 11 = 31 mod 20
m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 10 = 31 mod 21
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 21) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10