Aufgabenbeispiele von Pythagoras
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Hypothenuse bestimmen (mit Pyth.)
Beispiel:
Berechne die Länge der Hypotenuse.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
122 + 52 = c2
144 + 25 = c2
169 = c2 |
13 = c
Die gesuchte Länge ist somit c = 13 m.
Pythagoras mit ganzen Zahlen
Beispiel:
Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
842 + a2 = 852
7056 + a2 = 7225 | - 7056
a2 = 169 |
a = 13
Pythagoras mit reellen Zahlen
Beispiel:
Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
862 + c2 = 912
7396 + c2 = 8281 | - 7396
c2 = 885 |
c ≈ 29.75
Pythagoras (ohne Skizze)
Beispiel:
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längen der beiden Katheten mit a = 57 m und b = 34 m gegeben. Berechne die Länge der Hypotenuse.
Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
572 + 342 = c2
3249 + 1156 = c2
4405 = c2 |
66.37 ≈ c
Quadrate über rechtwinkl. Dreieck
Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt der roten Fläche A.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
A + 42 = 49
A + 16 = 49 | - 16
A = 33
Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 33 m2.
Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks
Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.
Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:
Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.
Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:
242 + b2 = 252
576 + b2 = 625 | - 576
b2 = 49 |
b = 7
Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:
A = ⋅ 7 m ⋅ 24 m
also A = 84 m2
Pythagoras im Rechteck und Dreieck
Beispiel:
Berechne die fehlende Länge h im abgebildeten Dreieck.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Im vorliegenden gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei kongruente Hälften. Bei diesen beiden Teildreiecken ist demnach also jeweils die untere waagrechte Seite 4.5 mm lang.
In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke h berechnen.
4.52 + h2 = 122
20.25 + h2 = 144 | - 20.25
h2 = 123.75 |
h = ≈ 11.12
Die gesuchte Länge ist somit h ≈ 11.12 mm.
Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)
Beispiel:
In einem Rechteck sind die beiden Seitenlängen mit a=8 mm und b=4 mm gegeben. Berechne die Länge der Diagonalen des Rechtecks.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke d berechnen.
82 + 42 = d2
64 + 16 = d2
80 = d2 |
d = ≈ 8.94
Die gesuchte Länge ist somit d ≈ 8.94 mm.
Pythagoras rückwärts
Beispiel:
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Flächeninhalt A=35 mm2 und der Länge der Basis b=10 mm. Berechne den Umfang dieses gleichschenkligen Dreieck.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Für den Flächeninhalt im Dreieck gilt: A = ⋅ c ⋅ hc
In unserem Fall also:
35 = ⋅ 10 ⋅ h = 5 ⋅ h |:5
7 = h
Wenn wir jetzt nur das rechte Teildreieck anschauen, können wir mit dem Satz des Pythagoras die Länge der beiden gleichlangen Schenkel a berechnen:
a2 = 52 + 72
a2 = 25 + 49
a2 = 74|
a = ≈ 8.6
Somit gilt für den Umfang U ≈ 8.6 mm + 8.6 mm + 10 mm = 27.2 mm
Pythagoras rückwärts (schwer)
Beispiel:
Gegeben ist ein Rechteck mit der Diagonalenlänge d=10 mm und dem Umfang 28 mm.
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.
Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:
I: U=2⋅a + 2⋅b
Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:
II: a2 + b2 = d2
Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:
I: 28=2⋅a + 2⋅b | :2
II: a2 + b2 = 102
vereinfacht
I: 14=a + b
II: a2 + b2 = 100
Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir
I: b = 14 - a
II: a2 + b2 = 100
Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:
II: a2 + (14 - a)2 = 100
Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:
= | |||
= | | |
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
a1,2 =
a1,2 =
a1,2 =
a1 =
= =
a2 =
Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)
(I) 14 = 8 + 6
Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.
Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:
A = a ⋅ b = 8 mm ⋅ 6 mm = 48 mm2
Abstand zweier Punkte
Beispiel:
Berechne den Abstand der beiden Punkte A(-5|-2) und B(2|-4) im Koordinatensystem.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.
Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx =
2 -
Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy =
-2 -
Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:
d2 = 72 + 22
d2 = 49 + 4
d2 = 53
d =
Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 7.28
Anwendungen Pythagoras
Beispiel:
Ein 6m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 12m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 18m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?
Im ersten Dreieck gilt:
62 + k12 = 122
36 + k12 = 144 |-36
k12 = 108 |
k1 ≈ 10.39
Im zweiten Dreieck gilt:
62 + k22 = 182
36 + k22 = 324 |-36
k22 = 288 |
k2 ≈ 16.97
Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 27.36m