Aufgabenbeispiele von Prismen
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Volumen eines Prismas
Beispiel:
Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.
Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 7 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:
A = ⋅ 16 cm ⋅ 7 cm = 56 cm²
Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 56 cm² ⋅ 7 cm = 392 cm³
Volumen eines Prismas 2
Beispiel:
Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 40 cm. Berechne das Volumen des Prismas.
Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:
G = c ⋅ hc
Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:
hc2 + ()2 = 72 |-()2
hc2 = 72 - ()2 = 72 - 22 = 49 - 4= 45
Daraus ergibt sich:
hc = ≈ 6.708
Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:
G = c ⋅ hc = ⋅ 4 ⋅ 6.708 ≈ 13.4
Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=40 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 13.4 cm² ⋅ 40 cm ≈ 536.7 cm³
Prismavolumen rückwärts
Beispiel:
Ein Prisma hat das Volumen V = 2494.2 m³, die Höhe h = 40 m und als Grundfläche das abgebildete gleichseitige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.
Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = ≈ ≈ 62.36
Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
hc2 + ()2 = x2 |-()2
hc2 = x2 - ()2 = x2 - x2 = x2
Daraus ergibt sich:
hc = a
Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:
G =
Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 62.36 einsetzen:
62.36 ≈
144 ≈ x2
x ≈
Für x = 12 m ist somit die Grundfläche G ≈ 62.4 m² und das Volumen des Prismas V ≈ 2494.2 m³