Aufgabenbeispiele von Vierfeldertafel
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 7; 8; 9} und B = {8}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 7; 8; 9} und B = {8}.
Die Menge
also
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {3; 5; 7; 8} und B = {1; 9; 10}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {3; 5; 7; 8} und B = {1; 9; 10}.
Die Menge
also
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
In einer Urne sind 12 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 12 beschriftet. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl dieser Kugel durch 2 teilbar ist oder dass die Zahl dieser Kugel höchstens die 3 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} und die Mengen A = {2; 4; 6; 8; 10; 12} und B = {1; 2; 3}.
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
In einer Urne sind 13 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 13 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl nicht durch 5 teilbar ist, aber mindestens die 7 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} und die Mengen A = {5; 10} und B = {7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13},
die nicht in der Menge A={5; 10} sind,
also
= {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 11; 12; 13}
Die Menge
also
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
179 + H(A ∩ ) = 347
Somit gilt: H(A ∩ ) = 347 - 179 = 168
179 | 168 | 347 | |
35 | |||
405 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
179 + 35 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 179 + 35 = 214
179 | 168 | 347 | |
35 | |||
214 | 405 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
347 + H( ) = 405
Somit gilt: H( ) = 405 - 347 = 58
179 | 168 | 347 | |
35 | 58 | ||
214 | 405 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
35 + H( ∩ ) = 58
Somit gilt: H( ∩ ) = 58 - 35 = 23
179 | 168 | 347 | |
35 | 23 | 58 | |
214 | 405 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
214 + H( ) = 405
Somit gilt: H( ) = 405 - 214 = 191
179 | 168 | 347 | |
35 | 23 | 58 | |
214 | 191 | 405 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,66 | 0,76 | ||
0,2 | |||
1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A ∩ B) + 0.66 = 0.76
Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.76 - 0.66 = 0.1
0,1 | 0,66 | 0,76 | |
0,2 | |||
1 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.1 + 0.2 = P(B)
Somit gilt: P(B) = 0.1 + 0.2 = 0.3
0,1 | 0,66 | 0,76 | |
0,2 | |||
0,3 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.76 + P( ) = 1
Somit gilt: P( ) = 1 - 0.76 = 0.24
0,1 | 0,66 | 0,76 | |
0,2 | 0,24 | ||
0,3 | 1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.2 + P( ∩ ) = 0.24
Somit gilt: P( ∩ ) = 0.24 - 0.2 = 0.04
0,1 | 0,66 | 0,76 | |
0,2 | 0,04 | 0,24 | |
0,3 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.3 + P( ) = 1
Somit gilt: P( ) = 1 - 0.3 = 0.7
0,1 | 0,66 | 0,76 | |
0,2 | 0,04 | 0,24 | |
0,3 | 0,7 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
Alle SchülerInnen eines Gymnasiums kommen entweder mit dem Fahrrad bzw. zu Fuß oder aber mit dem Bus oder einem Auto zur Schule. Von denen, die nicht weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen fahren trotzdem 98 mit dem Bus oder Auto. Von den 514 SchülerInnen, die weiter als 2 km von der Schule entfernt wohnen, kommen aber immerhin 67 mit dem Fahrrad oder zu Fuß. Insgesamt fahren 258 mit dem Fahrrad oder gehen zu Fuß. Wie viele SchülerInnen hat die Schule ?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: nah
: nicht nah, also entfernt
: Fahrrad/Fuß
: nicht Fahrrad/Fuß, also Bus/Auto
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 98 | ||
(entfernt) | 67 | 514 | |
258 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
67 + H( ∩ ) = 514
Somit gilt: H( ∩ ) = 514 - 67 = 447
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 98 | ||
(entfernt) | 67 | 447 | 514 |
258 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 67 = 258
Somit gilt: H(A ∩ B) = 258 - 67 = 191
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 191 | 98 | |
(entfernt) | 67 | 447 | 514 |
258 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
98 + 447 = H( )
Somit gilt: H( ) = 98 + 447 = 545
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 191 | 98 | |
(entfernt) | 67 | 447 | 514 |
258 | 545 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
191 + 98 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 191 + 98 = 289
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 191 | 98 | 289 |
(entfernt) | 67 | 447 | 514 |
258 | 545 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
258 + 545 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 258 + 545 = 803
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 191 | 98 | 289 |
(entfernt) | 67 | 447 | 514 |
258 | 545 | 803 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Fahrrad/Fuß) |
(Bus/Auto) | ||
---|---|---|---|
(nah) | 191 | 98 | 289 |
(entfernt) | 67 | 447 | 514 |
258 | 545 | 803 |
Der gesuchte Wert, Anzahl der Schüler der Schule, ist also 803.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 7% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 91% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 84% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie viel Prozent der Lehrer insgesamt nutzen nach diesen Schätzungen das MS-Office?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Informatiklehrer
: nicht Informatiklehrer, also andere
: MS-Office
: nicht MS-Office, also anderes Office
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,07 | ||
(andere) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,07 | ||
(andere) | 0,93 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 84%
kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,07 ⋅ 0,84 =
0,0588 berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0588 | 0,07 | |
(andere) | 0,93 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere" sind es 91%
kann man die Wahrscheinlichkeit
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0588 | 0,07 | |
(andere) | 0,8463 | 0,93 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0112 | 0,0588 | 0,07 |
(andere) | 0,8463 | 0,0837 | 0,93 |
0,8575 | 0,1425 | 1 |
Der gesuchte Wert, Prozentsatz an MS-Office, ist also 0.8575 = 85.75%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Bei einer neuen Viruskrankkeit, geht man davon aus, dass 1,93% der Bevölkerung diese nicht überleben. In einem Land sind 94% der Bevölkerung nicht älter als 80 Jahre. Von den über 80-jährigen sterben sogar 15% an dieser Viruskrankheit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Infizierter nicht älter als 80 ist und die Krankheit überlebt?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | |||
(höchstens 80) | 0,94 | ||
0,0193 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,06 | ||
(höchstens 80) | 0,94 | ||
0,0193 | 0,9807 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "über 80" sind es 15%
kann man die Wahrscheinlichkeit
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,009 | 0,06 | |
(höchstens 80) | 0,94 | ||
0,0193 | 0,9807 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(sterben) |
(überleben) | ||
---|---|---|---|
(über 80) | 0,009 | 0,051 | 0,06 |
(höchstens 80) | 0,0103 | 0,9297 | 0,94 |
0,0193 | 0,9807 | 1 |
Der gesuchte Wert, die Wahrscheinlichkeit für unter 80 Jahre und Krankheit überleben, ist also 0.9297 = 92.97%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 140 | 93 | 233 |
| 146 | 123 | 269 |
286 | 216 | 502 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
216 ⋅ x
= 93 = |:216
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,18 | 0,32 | 0,5 |
| 0,39 | 0,11 | 0,5 |
0,57 | 0,43 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,57 ⋅ x
= 0,39 = |:0,57
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 35,59% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 48% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 27% aller Smartphones iPhones. Ein Bekannter erzählt, dass er die App installiert hat. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein iPhones hat?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,27 | ||
(anderes Smartphone) | |||
0,3559 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,27 | ||
(anderes Smartphone) | 0,73 | ||
0,3559 | 0,6441 | 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 48%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1296 | 0,27 | |
(anderes Smartphone) | 0,73 | ||
0,3559 | 0,6441 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1296 | 0,1404 | 0,27 |
(anderes Smartphone) | 0,2263 | 0,5037 | 0,73 |
0,3559 | 0,6441 | 1 |
Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,3559 ⋅ x
= 0,1296 = |:0,3559
also
Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist) ist also 0,3641 = 36,41%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 2300 Fahrräder verkauft. Davon waren 657 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 1127 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 1237 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 1127 | ||
(kein E-Bike) | 657 | ||
1237 | 2300 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 1237 = 2300
Somit gilt: H(B) = 2300 - 1237 = 1063
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 1127 | ||
(kein E-Bike) | 657 | ||
1063 | 1237 | 2300 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 657 = 1063
Somit gilt: H(A ∩ B) = 1063 - 657 = 406
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 406 | 1127 | |
(kein E-Bike) | 657 | ||
1063 | 1237 | 2300 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
1127 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 406 | 1127 | |
(kein E-Bike) | 657 | 1173 | |
1063 | 1237 | 2300 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
406 + H(A ∩
Somit gilt: H(A ∩
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 406 | 721 | 1127 |
(kein E-Bike) | 657 | 1173 | |
1063 | 1237 | 2300 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
657 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 406 | 721 | 1127 |
(kein E-Bike) | 657 | 516 | 1173 |
1063 | 1237 | 2300 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 406 | 721 | 1127 |
(kein E-Bike) | 657 | 516 | 1173 |
1063 | 1237 | 2300 |
Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 2300. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,177 | 0,313 | 0,49 |
| 0,286 | 0,224 | 0,51 |
0,462 | 0,538 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.49 mit P(B)=0.462 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.177, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.49 ⋅ 0.462 = 0.2265 ≈ 0.226
≠ 0.177 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| |||
| 0,4104 | 0,72 | |
1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.72 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.72 = 0.28
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,28 | ||
| 0,4104 | 0,72 | |
1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also 0.72 ⋅
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,28 | ||
| 0,4104 | 0,72 | |
0,57 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,1596 | 0,1204 | 0,28 |
| 0,4104 | 0,3096 | 0,72 |
0,57 | 0,43 | 1 |
Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)
Beispiel:
An einer Schule müssen alle Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen für ihre Kurswahl entweder das Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Schülern, die keine Mädchen sind, wählen 10 das Leistungsfach. Insgesamt gibt es 35 Mädchen in dieser Klassenstufe. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind. Wie viele der insgeamt 60 Wahlen entfielen auf das Basisfach Mathe?
Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 35 | ||
(Jungs) | 10 | ||
60 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
35 + H(
Somit gilt: H(
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 35 | ||
(Jungs) | 10 | 25 | |
60 |
Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Leistungsfach" in der Zeile "Jungs"
Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "Leistungsfach" auch
Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 35 | ||
(Jungs) | 10 | 25 | |
24 | 60 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 14 | 21 | 35 |
(Jungs) | 10 | 15 | 25 |
24 | 36 | 60 |
Die Anzahl der Schüler:innen mit Basisfach ist somit 36