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Flächeninhalt eines Parallelogramms

Beispiel:

Das Dreieck ABC mit A $(-1 | 4 | 4)$ , B $(-9 | 28 | -8)$ und C $(-7 | 1 | 2)$ soll durch den Punkt D zu einem Parallelogramm ABCD erweitert werden. Bestimme den Punkt D und berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms..

Lösung einblenden

Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\vec{OD}$ = $\vec{OA}$ + $\vec{BC}$ = $(\begin{matrix} -1 \\ 4 \\ 4 \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} 2 \\ -27 \\ 10 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 \\ -23 \\ 14 \end{matrix})$

Der Gesuchte Punkt ist also D $(1 | -23 | 14)$ .

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -9 - (-1) \\ 28 - 4 \\ -8 - 4 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -8 \\ 24 \\ -12 \end{matrix})$ und $\vec{AD}$ = $\vec{BC}$ = $(\begin{matrix} -7 - (-9) \\ 1 - 28 \\ 2 - (-8) \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 2 \\ -27 \\ 10 \end{matrix})$ .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\vec{n} = (\begin{matrix} -8 \\ 24 \\ -12 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ -27 \\ 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 24 \cdot 10 - (- 12) \cdot (- 27) \\ - 12 \cdot 2 - (- 8) \cdot 10 \\ - 8 \cdot (- 27) - 24 \cdot 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 240 - 324 \\ - 24 + 80 \\ 216 - 48 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 84 \\ 56 \\ 168 \end{matrix})$ .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = $| (\begin{matrix} -84 \\ 56 \\ 168 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{{(-84)}^{2} + 56^{2} + 168^{2}} = \sqrt{38416} = 196$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = 196.

Flächeninhalt eines Dreiecks

Beispiel:

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A $(3 | 4 | 6)$ , B $(35 | 20 | 10)$ und C $(-4 | -4 | 13)$ .

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Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 35 - 3 \\ 20 - 4 \\ 10 - 6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 32 \\ 16 \\ 4 \end{matrix})$ und $\vec{AC}$ = $(\begin{matrix} -4 - 3 \\ -4 - 4 \\ 13 - 6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -7 \\ -8 \\ 7 \end{matrix})$ .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\vec{n} = (\begin{matrix} 32 \\ 16 \\ 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -7 \\ -8 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 16 \cdot 7 - 4 \cdot (- 8) \\ 4 \cdot (- 7) - 32 \cdot 7 \\ 32 \cdot (- 8) - 16 \cdot (- 7) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 112 + 32 \\ - 28 - 224 \\ - 256 + 112 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 144 \\ - 252 \\ - 144 \end{matrix})$ .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = $| (\begin{matrix} 144 \\ -252 \\ -144 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{144^{2} + {(-252)}^{2} + {(-144)}^{2}} = \sqrt{104976} = 324$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$ | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = $\frac{1}{2}$ ⋅ 324 = 162.

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Parallelogramm ABCD mit A $(-3 | 0 | 6)$ , B $(-7 | 16 | -26)$ , C $(-24 | 12 | -36)$ und D $(-20 | -4 | -4)$ und als Spitze S $(0 | -21 | -15)$ . Berechne das Volumen der Pyramide.

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Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} -7 - (-3) \\ 16 - 0 \\ -26 - 6 \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -4 \\ 16 \\ -32 \end{matrix})$ und $\vec{AD}$ = $\vec{BC}$ = $(\begin{matrix} -24 - (-7) \\ 12 - 16 \\ -36 - (-26) \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -17 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})$ .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\vec{n} = (\begin{matrix} -4 \\ 16 \\ -32 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -17 \\ -4 \\ -10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 16 \cdot (- 10) - (- 32) \cdot (- 4) \\ - 32 \cdot (- 17) - (- 4) \cdot (- 10) \\ - 4 \cdot (- 4) - 16 \cdot (- 17) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 160 - 128 \\ 544 - 40 \\ 16 + 272 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 288 \\ 504 \\ 288 \end{matrix})$ .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = $| (\begin{matrix} -288 \\ 504 \\ 288 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{{(-288)}^{2} + 504^{2} + 288^{2}} = \sqrt{419904} = 648$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, dass von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = 648.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:

\vec{x} = (\begin{matrix} -3 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} -4 \\ 16 \\ -32 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} -17 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes:

\vec{n} = (\begin{matrix} -4 \\ 16 \\ -32 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -17 \\ -4 \\ -10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 16 \cdot (- 10) - (- 32) \cdot (- 4) \\ - 32 \cdot (- 17) - (- 4) \cdot (- 10) \\ - 4 \cdot (- 4) - 16 \cdot (- 17) \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 160 - 128 \\ 544 - 40 \\ 16 + 272 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 288 \\ 504 \\ 288 \end{matrix})

= -72⋅

(\begin{matrix} 4 \\ -7 \\ -4 \end{matrix})

Weil der Vektor $(\begin{matrix} 4 \\ -7 \\ -4 \end{matrix})$ orthogonal zu $(\begin{matrix} -4 \\ 16 \\ -32 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} -17 \\ -4 \\ -10 \end{matrix})$ , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\vec{x} - (\begin{matrix} -3 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} 4 \\ -7 \\ -4 \end{matrix}) = 0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $4 x_{1} - 7 x_{2} - 4 x_{3} = d$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(-3 | 0 | 6)$ erhält man
d = $4 \cdot (-3) + (-7) \cdot 0 + (-4) \cdot 6$
also:

4 x_{1} - 7 x_{2} - 4 x_{3} = -36

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d =

\frac{| 4 \cdot 0 - 7 \cdot (- 21) - 4 \cdot (- 15) + 36 |}{\sqrt{4^{2} + {(- 7)}^{2} + {(- 4)}^{2}}}

=

\frac{| 243 |}{\sqrt{81}}

=

\frac{243}{9}

= 27

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 27.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 648 · 27 = 5832

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundseite das Dreieck ABC mit A $(0 | 2 | -3)$ , B $(4 | -10 | -21)$ , C $(22 | 2 | -25)$ und als Spitze S $(-9 | 29 | -23)$ .
Berechne das Volumen der Pyramide.

Lösung einblenden

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\vec{AB}$ = $(\begin{matrix} 4 - 0 \\ -10 - 2 \\ -21 - (-3) \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 4 \\ -12 \\ -18 \end{matrix})$ und $\vec{AC}$ = $(\begin{matrix} 22 - 0 \\ 2 - 2 \\ -25 - (-3) \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 22 \\ 0 \\ -22 \end{matrix})$ .

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\vec{n} = (\begin{matrix} 4 \\ -12 \\ -18 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 22 \\ 0 \\ -22 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 12 \cdot (- 22) - (- 18) \cdot 0 \\ - 18 \cdot 22 - 4 \cdot (- 22) \\ 4 \cdot 0 - (- 12) \cdot 22 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 264 + 0 \\ - 396 + 88 \\ 0 + 264 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 264 \\ - 308 \\ 264 \end{matrix})$ .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = $| (\begin{matrix} 264 \\ -308 \\ 264 \end{matrix}) |$ = $\sqrt{264^{2} + {(-308)}^{2} + 264^{2}} = \sqrt{234256} = 484$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$ | $\vec{a}$ x $\vec{b}$ | = $\frac{1}{2}$ ⋅ 484 = 242.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:

\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 4 \\ -12 \\ -18 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 22 \\ 0 \\ -22 \end{matrix})

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes:

\vec{n} = (\begin{matrix} 4 \\ -12 \\ -18 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 22 \\ 0 \\ -22 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 12 \cdot (- 22) - (- 18) \cdot 0 \\ - 18 \cdot 22 - 4 \cdot (- 22) \\ 4 \cdot 0 - (- 12) \cdot 22 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 264 + 0 \\ - 396 + 88 \\ 0 + 264 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 264 \\ - 308 \\ 264 \end{matrix})

= -44⋅

(\begin{matrix} -6 \\ 7 \\ -6 \end{matrix})

Weil der Vektor $(\begin{matrix} -6 \\ 7 \\ -6 \end{matrix})$ orthogonal zu $(\begin{matrix} 4 \\ -12 \\ -18 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 22 \\ 0 \\ -22 \end{matrix})$ , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\vec{x} - (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{matrix})] \circ (\begin{matrix} -6 \\ 7 \\ -6 \end{matrix}) = 0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $-6 x_{1} + 7 x_{2} - 6 x_{3} = d$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A $(0 | 2 | -3)$ erhält man
d = $(-6) \cdot 0 + 7 \cdot 2 + (-6) \cdot (-3)$
also:

-6 x_{1} + 7 x_{2} - 6 x_{3} = 32

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

d =

\frac{| -6 \cdot (- 9) + 7 \cdot 29 - 6 \cdot (- 23) - 32 |}{\sqrt{{(- 6)}^{2} + 7^{2} + {(- 6)}^{2}}}

=

\frac{| 363 |}{\sqrt{121}}

=

\frac{363}{11}

= 33

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 33.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 242 · 33 = 2662

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden

Beispiel:

Gegeben ist der Punkt A $(2 | -4 | -4)$ , der Punkt C $(1 | -12 | -8)$ und die Gerade g: $\vec{x} =$ $(\begin{matrix} 2 \\ -4 \\ -4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} -8 \\ -1 \\ 4 \end{matrix})$ . A liegt in g.
Bestimme alle möglichen Koordinaten für einen Punkt B auf der Geraden g, so dass das Dreieck ABC den Flächeninhalt A = 121,5 hat.

Lösung einblenden

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\vec{AB}$ einfach als $(\begin{matrix} - 8 t \\ - 1 t \\ 4 t \end{matrix})$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\vec{AC}$ = $(\begin{matrix} 1 - 2 \\ -12 - (-4) \\ -8 - (-4) \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} -1 \\ -8 \\ -4 \end{matrix})$ .

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\vec{n} = (\begin{matrix} - 8 t \\ - 1 t \\ 4 t \end{matrix}) \times (\begin{matrix} -1 \\ -8 \\ -4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - t \cdot (- 4) - 4 t \cdot (- 8) \\ 4 t \cdot (- 1) - (- 8 t) \cdot (- 4) \\ - 8 t \cdot (- 8) - (- t) \cdot (- 1) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 t + 32 t \\ - 4 t - 32 t \\ 64 t - t \end{matrix}) = (\begin{matrix} 36 t \\ - 36 t \\ 63 t \end{matrix})$ .

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors | $\vec{AB}$ x $\vec{AC}$ | = $| (\begin{matrix} 36 t \\ - 36 t \\ 63 t \end{matrix}) |$ = $\sqrt{1 296 t^{2} + 1 296 t^{2} + 3 969 t^{2}}$ = $\sqrt{6 561 t^{2}}$ = $| 81 t |$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 121,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$ | $\vec{AB}$ x $\vec{AC}$ | = $\frac{1}{2}$ $| 81 t |$ = 121,5 |⋅2

$| 81 t |$ = 243

1. Fall

$81 t$ = 243 |: 81

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_{t} (2 - 8 t | -4 - 1 t | -4 + 4 t)$ ergibt
B₁ $(-22 | -7 | 8)$ .

2. Fall

- $81 t$ = 243 |: -81

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_{t} (2 - 8 t | -4 - 1 t | -4 + 4 t)$ ergibt
B₂ $(26 | -1 | -16)$ .

Aufgabenbeispiele von Flächen und Volumen

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Flächeninhalt eines Dreiecks

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm)

Berechnung der Grundfläche

Aufstellen der Koordinatengleichung

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Aufstellen der Koordinatengleichung

Pkt auf Gerade mit Dreiecksinhalt finden