Aufgabenbeispiele von MGK Klasse 10
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Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21000 + 7004) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21000 + 7004) mod 7 ≡ (21000 mod 7 + 7004 mod 7) mod 7.
21000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21000
= 21000
7004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7004
= 7000
Somit gilt:
(21000 + 7004) mod 7 ≡ (0 + 4) mod 7 ≡ 4 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 44) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(43 ⋅ 44) mod 9 ≡ (43 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.
43 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 36 + 7 = 4 ⋅ 9 + 7 ist.
44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.
Somit gilt:
(43 ⋅ 44) mod 9 ≡ (7 ⋅ 8) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.
modulo Potenzieren einfach
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 26416 mod 859.
Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (24).
Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:
Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 264 -> x
2. mod(x²,859) -> x
- den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
- die x-Taste ist direkt darüber
- "mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
- das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]
1: 2641=264
2: 2642=2641+1=2641⋅2641 ≡ 264⋅264=69696 ≡ 117 mod 859
4: 2644=2642+2=2642⋅2642 ≡ 117⋅117=13689 ≡ 804 mod 859
8: 2648=2644+4=2644⋅2644 ≡ 804⋅804=646416 ≡ 448 mod 859
16: 26416=2648+8=2648⋅2648 ≡ 448⋅448=200704 ≡ 557 mod 859
modulo Potenzieren große Zahlen
Beispiel:
Berechne möglichst geschickt: 938218 mod 947.
Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 218 (grauer Kasten).
Dann schauen wir die Binärdarstellung von 218 an und zerlegen 218 in eine Summer von 2er-Potenzen:
218 = 128+64+16+8+2
1: 9381=938
2: 9382=9381+1=9381⋅9381 ≡ 938⋅938=879844 ≡ 81 mod 947
4: 9384=9382+2=9382⋅9382 ≡ 81⋅81=6561 ≡ 879 mod 947
8: 9388=9384+4=9384⋅9384 ≡ 879⋅879=772641 ≡ 836 mod 947
16: 93816=9388+8=9388⋅9388 ≡ 836⋅836=698896 ≡ 10 mod 947
32: 93832=93816+16=93816⋅93816 ≡ 10⋅10=100 ≡ 100 mod 947
64: 93864=93832+32=93832⋅93832 ≡ 100⋅100=10000 ≡ 530 mod 947
128: 938128=93864+64=93864⋅93864 ≡ 530⋅530=280900 ≡ 588 mod 947
938218
= 938128+64+16+8+2
= 938128⋅93864⋅93816⋅9388⋅9382
≡ 588 ⋅ 530 ⋅ 10 ⋅ 836 ⋅ 81 mod 947
≡ 311640 ⋅ 10 ⋅ 836 ⋅ 81 mod 947 ≡ 77 ⋅ 10 ⋅ 836 ⋅ 81 mod 947
≡ 770 ⋅ 836 ⋅ 81 mod 947
≡ 643720 ⋅ 81 mod 947 ≡ 707 ⋅ 81 mod 947
≡ 57267 mod 947 ≡ 447 mod 947
Es gilt also: 938218 ≡ 447 mod 947
erweiterter Euklid'scher Algorithmus
Beispiel:
Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-97-Inverse zur Zahl 45.
Also bestimme x, so dass 45 ⋅ x ≡ 1 mod 97 gilt:
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 97 und 45
| =>97 | = 2⋅45 + 7 |
| =>45 | = 6⋅7 + 3 |
| =>7 | = 2⋅3 + 1 |
| =>3 | = 3⋅1 + 0 |
also gilt: ggt(97,45)=1
Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:
| 1= 7-2⋅3 | |||
| 3= 45-6⋅7 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= 1⋅7 -2⋅(45 -6⋅ 7)
= 1⋅7 -2⋅45 +12⋅ 7) = -2⋅45 +13⋅ 7 (=1) |
| 7= 97-2⋅45 | eingesetzt in die Zeile drüber: | 1 |
= -2⋅45 +13⋅(97 -2⋅ 45)
= -2⋅45 +13⋅97 -26⋅ 45) = 13⋅97 -28⋅ 45 (=1) |
Es gilt also: ggt(97,45)=1 = 13⋅97 -28⋅45
oder wenn man 13⋅97 auf die linke Seite bringt:
1 -13⋅97 = -28⋅45
-28⋅45 = -13⋅97 + 1 |+97⋅45
-28⋅45 + 97⋅45 = -13⋅97 + 97⋅45 + 1
(-28 + 97) ⋅ 45 = (-13 + 45) ⋅ 97 + 1
69⋅45 = 32⋅97 + 1
Es gilt also: 69⋅45 = 32⋅97 +1
Somit 69⋅45 = 1 mod 97
69 ist also das Inverse von 45 mod 97
Schlüsselpaar für RSA
Beispiel:
Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 97 und q = 101. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.