Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 1.1) ≈ 0.9433

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.95, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.05 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.95 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.05 liefert der WTR k ≈ -4.804.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 60 und der Standardabweichung σ = 0.3.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 59.8) ≈ 0.7475

Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.25 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.25, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.75 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.25 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.75 liefert der WTR k ≈ 110.117.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Den Mittelwert μ= 0 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Den Mittelwert μ= 4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 4 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-3 ≤ X ≤ 10) ≈ 0.8931

Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -5.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P(-5 ≤ X ≤ -1) entspricht: P(-5 ≤ X ≤ -1) = 0.445.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.445 - 0.445 = 0.11

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P( X ≥ -1) = $\frac{\mathrm{0.11}}{2}$= 0.055

Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 10 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{\mathrm{0.5}}{\mathrm{0.0798}}$ ≈ 6.266 und runden diesen auf σ₁ = 6.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 10 und σ₁=6) an der gegebenen Stelle x = 10 und erhalten f₁(10) = 0.0665
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=6 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 10 berechnen:

μ = 10

σ = 5

f(10) = 0.0798

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 5 sein.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 500 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 500) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 500) mindestens 0.9 ist:

μ = 500: P(X ≥ 500) = 0.5

μ = 501: P(X ≥ 500) = 0.6554

μ = 502: P(X ≥ 500) = 0.7881

μ = 503: P(X ≥ 500) = 0.8849

μ = 504: P(X ≥ 500) = 0.9452

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 504 einstellen.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 55 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 55) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 55) mindestens 0.75 ist:

μ = 55: P(X ≥ 55) = 0.5

μ = 56: P(X ≥ 55) = 0.8667

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 56 einstellen.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die geforderte Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 50 und der Standardabweichung σ = 7.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 59.1) ≈ 0.0968 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 50 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Insekten mit der geforderten Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit n = 50 und p = 0.097 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.097}^{50}(5\le X\le 10)$ =

...

$P_{0.097}^{50}(X\le 10)$ - $P_{0.097}^{50}(X\le 4)$ ≈ 0.9926 - 0.4612 = 0.5314

(TI-Befehl: binomcdf(50,0.097,10) - binomcdf(50,0.097,4))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 53,1%.

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Apfel im geforderten Größenbereich liegt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei den Durchmessers eines Apfels, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 8.7 und der Standardabweichung σ = 2.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(8 ≤ Y ≤ 11) ≈ 0.431475 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Äpfel im geforderten Größenbereich zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.431475 annehmen.