Aufgabenbeispiele von Körper
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 6760000000 mm³ = ..... dm³
6760000000 mm³ = 6760 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
84 m³ + 700 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
84 m³ = 84000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
84 m³ + 700 dm³
= 84000 dm³ + 700 dm³
= 84700 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 12 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 12 ml Wasser eben 12 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 cm lang, 5 cm breit und 2 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 3 cm ⋅ 5 cm ⋅ 2 cm
= 30 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 28 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 7 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 7 m = 28 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 8 cm breit und 7 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 cm ⋅ 8 cm ⋅ 7 cm
= 280 cm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 cm lang, 5 cm breit und 7 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅2 cm⋅5 cm + 2⋅2 cm⋅7 cm
+ 2⋅5 cm⋅7 cm
= 20 cm² + 28 cm² + 70 cm²
= 118 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 dm lang, 8 dm hoch und hat das Volumen V = 480 dm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 480 dm³ = 6 dm ⋅ ⬜ ⋅ 8 dm
480 dm³ = ⬜ ⋅ 48 dm²
Das Kästchen kann man also mit 480 dm³ : 48 dm² = 10 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 dm⋅8 dm + 2⋅6 dm⋅10 dm
+ 2⋅8 dm⋅10 dm
= 96 dm² + 120 dm² + 160 dm²
= 376 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 1000 cm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
1000 cm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(7|1), C(10|4) und G(10|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(10-4|4) = D(6|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-4 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+6) = E(3|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(7|1) liegen muss, also bei F(7|1+6) = F(7|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(6|4) liegen muss, also bei H(6|4+6) = H(6|10).