Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^3-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-15\cdot {\left(-1\right)}^2-4$

= $-15\cdot 1-4$

= $-15-4$

= $-19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-1\right)}^3-4\cdot \left(-1\right)$ = $-5\cdot \left(-1\right)+4$ = $5+4$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $-19$⋅( $-1$) + c

$9$ = $19$ + c | $-19$

$-10$ = c

also c= $-10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-19$⋅x $-10$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+0$

= $9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot 2^2$

= $9\cdot 4$

= $36$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $36$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 2^3+3$ = $3\cdot 8+3$ = $24+3$ = $27$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $27$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$27$ = $36$⋅ $2$ + c

$27$ = $72$ + c | $-72$

$-45$ = c

also c= $-45$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $36$⋅x $-45$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{9}{x}^3+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^2+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot 2^2+1$

= $\frac{1}{3}\cdot 4+1$

= $\frac{4}{3}+1$

= $\frac{4}{3}+\frac{3}{3}$

= $\frac{7}{3}$

≈ 2.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{3}{7}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{3}{7}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{9}\cdot 2^3+2$ = $\frac{1}{9}\cdot 8+2$ = $\frac{8}{9}+2$ = $\frac{8}{9}+\frac{18}{9}$ = $\frac{26}{9}$ ≈ 2.89

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $\frac{26}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{26}{9}$ = $-\frac{3}{7}$⋅ $2$ + c

$\frac{26}{9}$ = $-\frac{6}{7}$ + c | + $\frac{6}{7}$

$\frac{236}{63}$ = c

also c= $\frac{236}{63}$ ≈ 3.75

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{3}{7}$⋅x + $\frac{236}{63}$ oder y=-0.43x +3.75

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-2x+1$

=>$\text{f'(x)}=$ $3x-2+0$

f'(2) = $3\cdot 2-2$ = $6-2$ = $4$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $4$)) ≈ 76°.

Wenn der Steigungswinkel α = 45° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(45°) ≈ 1 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 1 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 1 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{28}{x}^4-48x-9$ ab:

f'(x) = $-\frac{1}{7}{x}^3-48$

Es muss gelten:

$-\frac{1}{7}{x}^3-48$	=	$1$	| $+48$
$-\frac{1}{7}{x}^3$	=	$49$	|⋅ $\left(-7\right)$
$x^3$	=	$-343$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{343}$	= $-7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot 1-2$

= $-8-2$

= $-10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-10$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 1^2-2\cdot 1$ = $-4\cdot 1-2$ = $-4-2$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $-10$⋅ $1$ + c

$-6$ = $-10$ + c | + $10$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-10$⋅x + $4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-10x+4$

$-10x+4$	=	0	| $-4$
$-10x$	=	$-4$	|:($-10$)
$x$	=	$\frac{2}{5}$ = 0.4

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{2}{5}$ ≈ 0.4.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $10-\frac{1}{4}{t}^2$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{1}{2}t$

= $-\frac{1}{2}t$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $10-\frac{1}{4}\cdot 2^2$ = $10-\frac{1}{4}\cdot 4$ = $10-1$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $-1$⋅2 + c

$9$ = $-2$ + c | + $2$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅t + $11$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-t+11$

$-t+11$	=	0	| $-11$
$-t$	=	$-11$	|:($-1$)
$t$	=	$11$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $11$.