Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = -2 und x₂ = 0 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(0) - f(-2) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 0 - ( - 2 ) in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(0)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-1\; -\; <mn>1</mn>}}{\mathrm{0\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$

= $\frac{\mathrm{-2}}{2}$

= $-1$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 2 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $-0^3+0^2+2$ = $-0+0+2$ = 2 und
f(2) = $-2^3+2^2+2$ = $-8+4+2$ = -2
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(2) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 2 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(2)\; -\; f(0)}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-2\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{2\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4}}{2}$

= $-2$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(-2)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1,5</mn></mrow></math>\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}$ = 1

f($-\mathrm{1,5}$) = 2 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>2</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow></math>}}$ = 1 |⋅ $\mathrm{0,5}$

f($-\mathrm{1,5}$) -2 = $\mathrm{0,5}$ |+2

f($-\mathrm{1,5}$) = 2.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{3x^2+2-\left(3\cdot 1^2+2\right)}{x-1}$

= $\frac{3x^2+2-3\cdot 1^2-2}{x-1}$

= $\frac{3x^2-3\cdot 1^2}{x-1}$

= $\frac{3\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{3\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $3·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $3\left(x+1\right)$ = $3\left(1+1\right)$ = 6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{3{\left(1+h\right)}^2+2-\left(3\cdot 1^2+2\right)}{h}$

= $\frac{3{\left(1+h\right)}^2+2-3\cdot 1^2-2}{h}$

= $\frac{3{\left(h+1\right)}^2-3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{3\left(h^2+2h+1\right)-3}{h}$

= $\frac{3h^2+6h+3-3}{h}$

= $\frac{3h^2+6h}{h}$

= $\frac{3h\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $3\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $3\left(h+2\right)$ = $3\left(0+2\right)$ = 6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\frac{x^3-4x-\left(1^3-4\cdot 1\right)}{x-1}$ = $\frac{x^3-4x-1+4}{x-1}$ = $\frac{x^3-4x+3}{x-1}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 1 annähern:

x = 1.1: $\frac{{\mathrm{1,1}}^3-4\cdot \mathrm{1,1}+3}{\mathrm{0,1}}$ ≈ -0.69

x = 1.01: $\frac{{\mathrm{1,01}}^3-4\cdot \mathrm{1,01}+3}{\mathrm{0,01}}$ ≈ -0.9699

x = 1.001: $\frac{{\mathrm{1,001}}^3-4\cdot \mathrm{1,001}+3}{\mathrm{0,001}}$ ≈ -0.997

x = 1.0001: $\frac{{\mathrm{1,0001}}^3-4\cdot \mathrm{1,0001}+3}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ -0.9997

x = 1.00001: $\frac{1^3-4\cdot 1+3}{0.00001}$ ≈ -0.99997

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 1 bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $\frac{x^3-4x+3}{x-1}$ ≈ -1

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-5x^2-1-\left(-5u^2-1\right)}{x-u}$

= $\frac{-5x^2-1+5u^2+1}{x-u}$

= $\frac{-5x^2+5u^2}{x-u}$

= $\frac{-5\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-5(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-5·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-5(x+u)$ = $-5·(u+u)$ = $-10u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-10u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-10x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{2x^2-5x-\left(2u^2-5u\right)}{x-u}$

= $\frac{2x^2-5x-2u^2+5u}{x-u}$

= $\frac{2x^2-2u^2-5x+5u}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)-5\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}+\frac{-5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{2(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{-5\left(x-u\right)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $2·(x+u)-5$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $2·(x+u)-5$ = $2·(u+u)-5$ = $4u-5$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $4u-5$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $4x-5$.