Aufgabenbeispiele von Rückwärtsaufgaben
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Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
In einer Urne ist der Anteil der grünen Kugeln 90%. Wie oft darf höchstens gezogen werden ( - natürlich mit Zurücklegen - ), so dass mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 22 grüne Kugeln gezogen werden?
n | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
24 | 0.7075 |
25 | 0.4629 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gezogenen grünen Kugeln an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 90% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 24 Versuchen auch ungefähr 22 (≈0.9⋅24) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=24:
≈ 0.7075
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=24 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
Binomialvert. mit variablem n (mind)
Beispiel:
Die Firma Apple hat ein neues geniales Produkt, die iYacht, auf den Markt gebracht (wenn auch nicht ganz günstig). Die hierfür beauftragte Marketingagentur garantiert, dass unter denen, denen sie die Yacht vorgeführt hat, der Anteil der späteren Käufer bei 13% liegt. Wie vielen Personen muss nun dieses Produkt vorgeführt werden, damit sich mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, 37 oder mehr Käufer für dieses Produkt finden?
n | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
288 | 0.443 |
289 | 0.434 |
290 | 0.4252 |
291 | 0.4163 |
292 | 0.4076 |
293 | 0.3989 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Käufer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.13 und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Weil man ja aber nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:
= 1 - ≥ 0.6 |+ - 0.6
0.4 ≥ oder ≤ 0.4
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 13% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei ≈ 285 Versuchen auch ungefähr 37 (≈0.13⋅285) Treffer auftreten.
Wir berechnen also mit unserem ersten n=285:
≈ 0.47
(TI-Befehl: Binomialcdf ...)
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=293 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.
n muss also mindestens 293 sein, damit ≤ 0.4 oder eben ≥ 0.6 gilt.
Binomialvert. mit variablem n (höchst.)
Beispiel:
Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht mehr als 29 6er zu würfeln?
n | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
170 | 0.6032 |
171 | 0.5898 |
172 | 0.5763 |
173 | 0.5629 |
174 | 0.5494 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = und variablem n.
Es muss gelten: ≥ 0.6
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden der Versuche mit einem Treffer.
Also müssten dann doch bei ≈ 174 Versuchen auch ungefähr 29
(≈
Wir berechnen also mit unserem ersten n=174:
Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.
Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.
Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=170 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.
Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR
Beispiel:
Eine Schulklasse möchte fürs Schulfest ein Glücksrad entwickeln. Aus optischen Gründen sollen dabei alle Sektoren gleich groß sein. Einer davon soll für den Hauptpreis stehen. Hierfür haben sie insgesamt 6 Preise gesammelt. Sie erwarten, dass das Glücksrad beim Schulfest 75 mal gespielt wird. Mit wie vielen Sektoren müssen sie ihr Glückrad mindestens bestücken damit die 6 Hauptpreise mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% für die 75 Durchgänge reichen?
p | P(X≤6) |
---|---|
... | ... |
0.5645 | |
0.6449 | |
0.7122 | |
0.7674 | |
0.8122 | |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Hauptpreise an. X ist binomialverteilt mit n=75 und unbekanntem Parameter p.
Es muss gelten:
Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.
Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit
Um einen günstigen Startwert zu finden wählen wir mal als p=
In dieser Tabelle erkennen wir, dass erstmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p=
Der Nenner, also die Anzahl der Sektoren des Glücksrad, muss also mindestens
16 sein.
Binomialvert. mit variablem k (höchst.)
Beispiel:
Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,9. Das Zufallsexperiment soll 64 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 64 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 50% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.
k | P(X≤k) |
---|---|
... | ... |
52 | 0.0236 |
53 | 0.0516 |
54 | 0.1028 |
55 | 0.1866 |
56 | 0.3078 |
57 | 0.461 |
58 | 0.6273 |
59 | 0.7795 |
60 | 0.8937 |
61 | 0.9611 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.9 und n = 64.
Es muss gelten:
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:
Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und
57 immer noch weniger als 0.5 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst
Das größtmögliche k mit
größtmöglicher Wert für k muss somit k = 57 sein.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Binomialvert. mit variablem k (mind.)
Beispiel:
Bei einer Wurfbude ist die Wahrscheinlichkeit einen Ball in einen Eimer zu treffen bei ca. 11%. Für einen bestimmten Betrag darf man 18 mal werfen. Wenn man dabei eine bestimmte Mindestanzahl von Treffern k erzielt, bekommt man einen Hauptpreis. Wie hoch muss man k mindestens setzen, damit der Hauptpreis nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% ausgegeben werden muss?
k | P(X≤k) |
---|---|
0 | 0.1227 |
1 | 0.3958 |
2 | 0.6827 |
3 | 0.8718 |
4 | 0.9595 |
5 | 0.9898 |
6 | 0.9979 |
7 | 0.9997 |
8 | 1 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der getroffenenen Bälle an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.11 und n = 18.
Es muss gelten:
oder andersrum ausgedrückt:
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:
Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und
3 immer noch weniger als 0.95 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst
Das kleinstmögliche k mit
Die Mindestanzahl der getroffenenen Bälle muss somit k = 5 sein.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Binomialvert. mit variablem k (höchst.)
Beispiel:
Mitarbeiter:innen einer Firma müssen eine Maschine bedienen, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% ein fehlerhaftes Teil produziert. Jede Mitarbeiter:in produziert jeden Monat 90 Teile. Als Gag möchte die Geschäftsführung den Mitarbeiter:innen einen kleines Geschenk machen, deren Maschnine nicht mehr als eine bestimmte Anzahl an fehlerhaften Teilen produziert hat. Dabei soll aber die Wahrscheinlichkeit, ein Geschenk zu bekommen, bei höchstens 10% liegen. Wie viele fehlerhaften Teile dürfen somit höchstens produziert werden, um ein Geschenk zu bekommen?
k | P(X≤k) |
---|---|
0 | 0.0001 |
1 | 0.0008 |
2 | 0.0046 |
3 | 0.0169 |
4 | 0.0465 |
5 | 0.1032 |
6 | 0.1925 |
7 | 0.3115 |
8 | 0.4487 |
... | ... |
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.1 und n = 90.
Es muss gelten:
Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:
Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und
4 immer noch weniger als 0.1 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst
Das größtmögliche k mit
Die Maximalanzahl der fehlerhaften Teile für ein Geschenk muss somit k = 4 sein.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)