Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $1$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $2\pi$

Gesucht sind Stellen mit dem größten Funktionswert, also der x-Wert eines Hochpunkts. Dieser ist bei einer Kosinusfunktion immer zu Beginn der Periode (im Einheitskreis ist man zu Beginn der-Umdrehung ganz rechts bei x = 1), hier also nach $0$ ⋅ $2\pi$ = $0$.

Der x-Wert eines Hochpunkts ist also: x_H = $0$ .

Die .Kosinusfunktion schwingt ja mit einer maximalen Auslenkung (Amplitude) von 1 LE um die x-Achse (y=0). Somit ist der höchste Wert, also der y-Wert eines Hochpunkts bei 0 + 1 = 1.

Ein Hochpunkt wäre also z.B. H₁( $0$|1)

Ein weiterer Hochpunkt ist einfach eine (oder mehrere) Periode(n) weiter in x-Richtung verschoben,
also z.B. H₂( $0$ + $2\pi$ |1)= H₂( $2\pi$|1)

Die Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten 3 vor dem Kosinus.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor dem Kosinus, also - 3.

Bei der Verschiebung um 1 nach oben wird zu jedem Funktionswert noch 1 dazu addiert, also ein 1 an den Funktionsterm hinten angehängt.

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $\text{g(x)}=$ $-3\cdot \cos \left(x\right)+1$

Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

Man sieht schnell, dass der Graph der gesuchten Funktion um 3 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde. Also muss der gesuchte Term sin(x-c) +3 sein.

Außerdem sieht man, dass der aufsteigende Wendepunkt (der ja bei sin(x) im Ursprung ist) hier um 1 Einheit(en) nach links verschoben ist. wir können also c=1 einsetzen und erhalten so den gesuchten Term:

$\sin \left(x+1\right)+3$

Die Amplitude kann man sehr einfach als |a| bei a sin(b(x-c))+d ablesen, also ist die Amplitude A=2

Das b der allgemeinen Sinusfunktion a sin(b(x-c))+d ist in unserem Fall b=$4$. Mit der Periodenformel gilt dann für die Periode p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$=$\frac{\mathrm{2\pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}$, also p= $\frac{1}{2}\pi$.

Die Original-Sinusfunktion f(x)=sin(x) ist in der Abbildung rechts in blau eingezeichnet.

• Zuerst suchen wir eine aufsteigende Wendestelle, die genau auf einem 'Kästchen-Kreuzchen' liegt. Das wäre hier im Punkt P(1|1). Da bei sin(x) diese aufsteigende Wendestelle im Ursprung liegt, bedeutet das, dass der abgebildete Graph um 1 Einheit(en) nach rechts und um 1 Einheit(en) in y-Richtung verschoben wurde.
• Wir kennen nun von der allgemeinen Sinusfunktion f(x)=a⋅sin(b(x-c))+d die Parameter c=1 und d=1, also f(x)= f(x)=a⋅sin(b(x-1))+1
• Da der y-Unterschied zwischen den Hochpunkten bei y=4 und den Tiefpunkten bei y=-2 gerade 6 beträgt, können wir einfach die Amplitude a=3 bestimmen.
• Bleibt noch der am schwierigsten zu bestimmende Parameter b. Diesen ermitteln wir über die Periode. Dazu schauen wir ausgehend von unserer steigenden Wendestelle im Punkt P(1|1) den Abstand zur fallenden Wendestelle (halbe Periode) oder zur nächsten steigenden Wendestelle an. Man erkennt gut, dass dieser Abstand nicht ganzzahlig ist, also muss er ein Vielfaches von 2π sein. Der Abstand von der steigenden Wendestelle im Punkt P(1|1) zur nächsten wieder steigenden ist gerade etwas mehr als 3, also π. Eine Periode ist somit $\pi$. Wir stellen die Periodenformel p=$\frac{\mathrm{2\pi }}{b}$ um zu b=$\frac{\mathrm{2\pi }}{p}$ = und erhalten so b=2.

Der gesuchte Funktionsterm ist also $3\cdot \sin \left(2\left(x-1\right)\right)+1$

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $1$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $2\pi$

Gesucht sind Stellen mit dem geringsten Funktionswert, also der x-Wert eines Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Kosinusfunktion immer nach einer halben Periode (im Einheitskreis ist man nach einer halben-Umdrehung ganz links bei x = -1), hier also nach $\frac{1}{2}$ ⋅ $2\pi$ = $\pi$.

Der x-Wert eines Tiefpunkts ist also: x_T = $\pi$ .

Aus dem Term kann man auch eine Verschiebung der Kosinusfunktion um d = 3 nach oben und eine Amplitude von a = 1 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 1 LE um y = 3. Somit ist der tiefste Wert, also der y-Wert eines Tiefpunkts bei 3 - 1 = 2.

Ein Tiefpunkt wäre also z.B. T₁( $\pi$|2)

Ein weiterer Tiefpunkt ist einfach eine (oder mehrere) Periode(n) weiter in x-Richtung verschoben,
also z.B. T₂( $\pi$ + $2\pi$ |2)= T₂( $3\pi$|2)

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $1$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $2\pi$

Gesucht sind Stellen mit dem mittleren Funktionswert, also der x-Wert eines Wendepunkts. Dieser ist bei einer Kosinusfunktion immer nach einer Viertel- und nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel- und nach einer Dreiviertel-Umdrehung auf der y-Achse, also bei x=0), hier also nach $\frac{1}{4}$ ⋅ $2\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ und nach $\frac{3}{4}$ ⋅ $2\pi$ = $\frac{3}{2}\pi$.

Die Kosinusfunktion ist aber auch noch um $\pi$ nach rechts verschoben, d.h. sie startet bei t = $\pi$ mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Wendepunkt nach $\frac{1}{2}\pi$ + $\pi$ = $\frac{3}{2}\pi$ und nach $\frac{3}{2}\pi$ + $\pi$ = $\frac{5}{2}\pi$. Der x-Wert eines Wendepunkts ist also: x_W = $\frac{3}{2}\pi$, bzw. eben x_W = $\frac{5}{2}\pi$ .

Die .Kosinusfunktion schwingt ja mit einer maximalen Auslenkung (Amplitude) von 1 LE um die x-Achse (y=0). Somit ist der mittlere Wert, also der y-Wert eines Wendepunkts bei 0.

Ein Wendepunkt wäre also z.B. W₁( $\frac{3}{2}\pi$|0), ein weiterer W₂( $\frac{5}{2}\pi$|0)

1. Weg

Der Sinus hinkt dem Kosinus immer eine Viertelumdrehung am Einheitskreis, also $\frac{\pi }{2}$ hinterher (Während der Kosinius ja bereits mit dem Höchstwert 1 startet, erreicht der Sinus diesen erst nach der Vierteldrehung bei $\frac{\pi }{2}$)

Da wir ja eine Sinusfunktion suchen, müssen wir also im Argument der neuen Sinusfunktion $\frac{\pi }{2}$ addieren, um wieder das gleiche Verhalten wie bei der ursprünglichen Kosinusfunktion zu erhalten, also $\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(4x+\frac{3}{2}\pi +\frac{1}{2}\pi \right)+2$ = $2\cdot \sin \left(4x+2\pi \right)+2$

2. Weg

Eine andere Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, wäre, wenn man den Graph um eine Viertel Periode verschiebt, nachdem man Sinus und Kosinus vertauscht hat, denn jede Sinusfunktions hinkt ja der entsprechenden Kosinusfunktion immer um eine Viertel Periode hinterher.

Dazu bestimmen wir erstmal mit dem Faktor b = 4 aus dem Funktionsterm und der Periodenformel die Periodenlänge:

p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{4}$ = $\frac{1}{2}$π

Wir müssen also den Graph um $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{2}$π = $\frac{1}{8}$π nach links verschieben, wenn wir sin statt cos schreiben möchten. Das heißt wir müssen statt x immer (x + $\frac{1}{8}$π) schreiben:

$\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(4\left(x+\frac{1}{8}\pi \right)+\frac{3}{2}\pi \right)+2$ = $2\cdot \sin \left(4x+\frac{1}{2}\pi +\frac{3}{2}\pi \right)+2$ = $2\cdot \sin \left(4x+2\pi \right)+2$

Aus dem Funktionsterm können wir den Faktor b = $\frac{1}{12}\pi$ herauslesen und in die Periodenformel einsetzen:

Somit gilt für die Periodenlänge: p = $\frac{\mathrm{2\; \pi }}{b}$ = = 24

1. t-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem geringsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Tiefpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Dreiviertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Dreiviertel-Umdrehung ganz unten bei y=-1), hier also nach 18 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Tiefpunkt nach 18 + 11 h = 29 h. Weil aber 29 nicht im gesuchten Intervall [0;24] liegt, nehmen wir den Punkt eine Periode früher, also bei 29 - 24 = 5 h. Die Lösung ist also: 5 Uhr.

2. t-Wert des Maximums (HP)

   Gesucht ist die Stelle mit dem höchsten Funktionswert, also der x- bzw- t-Wert des Hochpunkts. Dieser ist bei einer Sinusfunktion immer nach einer Viertel Periode (im Einheitskreis ist man nach einer Viertel-Umdrehung ganz oben bei y=1), hier also nach 6 h.

   Die Sinusfunktion ist aber auch noch um 11 nach rechts verschoben, d.h. sie startet auch erst bei t = 11 h mit ihrer Periode. Somit erreicht sie ihren Hochpunkt nach 6 + 11 h = 17 h. Die Lösung ist also: 17 Uhr.

3. y-Wert des Minimums (TP)

   Gesucht ist der tiefste Funktionswert. Aus dem Term kann man eine Verschiebung der Sinusfunktion um d = 21 nach oben und eine Amplitude von a = 4 erkennen, d.h. f schwingt um maximal 4 um 21. Somit ist der tiefste Wert bei 21 ° C - 4 ° C = 17 ° C.