$\text{f(x)}=$ $-e^{-2t{x}^2+t^{2}x}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{-2t{x}^2+t^{2}x}·\left(-4tx+t^2\right)$

= $-e^{-2t{x}^2+t^{2}x}\left(-4tx+t^2\right)$

= $-\left(-4tx+t^2\right)e^{-2t{x}^2+t^{2}x}$

$\text{f(x)}=$ $-e^{2x-4}$

$\text{f'(x)}=$ $-e^{2x-4}·2$

= $-2e^{2x-4}$

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $5t{e}^{x+1}+5x$

$\text{f'(x)}=$ $5t{e}^{x+1}·1+5$

= $5t{e}^{x+1}+5$

In diese Ableitung setzen wir x=$-1$ ein:

f'($-1$)= $5t{e}^{-1+1}+5$= $5t+5$

Damit der Graph eine waagrechte Tangente hat, muss die Steigung gleich 0 sein,
also f'($-1$)= $5t+5$ soll gleich 0 sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $5t+5$ = 0 nach t auf.

Für t= $-1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$\text{f(x)}=$ $t^{2}x+2t^2$

$\text{f'(x)}=$ $t^2+0$

= $t^2$

In diese Ableitung setzen wir x=$3$ ein:

f'($3$) = $t^2$ = $t^2$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $\frac{25}{4}$x-4 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'($3$)= $t^2$ soll gleich $\frac{25}{4}$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $t^2$ = $\frac{25}{4}$ nach t auf.

Für t= $-\frac{5}{2}$ und t= $\frac{5}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.