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Aufgabenbeispiele von Lineare Gleichungssysteme

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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

2x1 +4x2 -4x3 = 8 (I) -2x1 -7x2 +5x3 = -14 (II) -4x1 -2x2 +18x3 = 32 (III)

Lösung einblenden
2x1 +4x2 -4x3 = 8 (I) -2x1 -7x2 +5x3 = -14 (II) -4x1 -2x2 +18x3 = 32 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

2·(I) + 1·(III)

2x1 4x2 -4x3 = 8 (I) ( 2 -2 )x1 +( 4 -7 )x2 +( -4 +5 )x3 = ( 8 -14 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( 8 -2 )x2 +( -8 +18 )x3 = ( 16 +32 ) (III)
2x1 +4x2 -4x3 = 8 (I) -3x2 +x3 = -6 (II) +6x2 +10x3 = 48 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

2x1 4x2 -4x3 = 8 (I) -3x2 1x3 = -6 (II) +( -6 +6 )x2 +( 2 +10 )x3 = ( -12 +48 ) (III)
2x1 +4x2 -4x3 = 8 (I) -3x2 +x3 = -6 (II) +12x3 = 36 (III)
Zeile (III): +12x3 = 36

x3 = 3

eingesetzt in Zeile (II):

-3x2 +(3 ) = -6 | -3
-3 x2 = -9 | : (-3)

x2 = 3

eingesetzt in Zeile (I):

2x1 +4·(3 ) -4·(3 ) = 8

x1 = 4

L={(4 |3 |3 )}

3x3-LGS BF (versch. Lsg.-mengen)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

4x1 +x2 +9x3 = 0 (I) 8x1 +9x2 -2x3 = -56 (II) -4x1 -8x2 +11x3 = 56 (III)

Lösung einblenden
4x1 +x2 +9x3 = 0 (I) 8x1 +9x2 -2x3 = -56 (II) -4x1 -8x2 +11x3 = 56 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(I) -1·(II)

1·(I) + 1·(III)

4x1 1x2 9x3 = 0 (I) ( 8 -8 )x1 +( 2 -9 )x2 +( 18 +2 )x3 = (0 +56 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( 1 -8 )x2 +( 9 +11 )x3 = (0 +56 ) (III)
4x1 +x2 +9x3 = 0 (I) -7x2 +20x3 = 56 (II) -7x2 +20x3 = 56 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

4x1 1x2 9x3 = 0 (I) -7x2 20x3 = 56 (II) +( -7 +7 )x2 +( 20 -20 )x3 = ( 56 -56 ) (III)
4x1 +x2 +9x3 = 0 (I) -7x2 +20x3 = 56 (II) 0 = 0 (III)

Wir erkennen, dass in der 3. Zeile 0=0 steht (und in den oberen beiden Zeilen kein Widerspruch).

Wir könnten also für x3 jede beliebige Zahl einsetzen und könnten dann die oberen beiden Zeilen nach den anderen beiden Variablen auflösen und damit diese bestimmen.

Somit gibt es eine unendlich große Lösungsmenge.

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

2x1 -1x2 +3x3 = -9 (I) -2x1 +4x2 -9x3 = 27 (II) 2x1 +x2 +5x3 = -18r +3 (III)

Lösung einblenden
2x1 -1x2 +3x3 = -9 (I) -2x1 +4x2 -9x3 = 27 (II) 2x1 +x2 +5x3 = -18r +3 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

1·(I) -1·(III)

2x1 -1x2 3x3 = -9 (I) ( 2 -2 )x1 +( -1 +4 )x2 +( 3 -9 )x3 = ( -9 +27 ) (II) ( 2 -2 )x1 +( -1 -1 )x2 +( 3 -5 )x3 = ( -9 + 18r -3 ) (III)
2x1 -1x2 +3x3 = -9 (I) +3x2 -6x3 = 18 (II) -2x2 -2x3 = 18r -12 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 3·(III)

2x1 -1x2 3x3 = -9 (I) 3x2 -6x3 = 18 (II) +( 6 -6 )x2 +( -12 -6 )x3 = ( 36 + 54r -36 ) (III)
2x1 -1x2 +3x3 = -9 (I) +3x2 -6x3 = 18 (II) -18x3 = 54 r (III)
Zeile (III): -18x3 = 54 r

x3 = -3 r

eingesetzt in Zeile (II):

+3x2 -6·(-3 r ) = 18
+3x2 +18 r = 18 | +-18 r
3 x2 = -18r +18 | : 3

x2 = -6r +6

eingesetzt in Zeile (I):

2x1 -1( -6r +6 ) +3·(-3 r ) = -9
2x1 + ( 6r -6 ) -9 r = -9 | + 3r +6
2 x1 = 3r -3 | : 2

x1 = 3 2 r - 3 2

L={( 3 2 r - 3 2 | -6r +6 |-3 r )}

Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Im Schaubild sieht man zwei Geraden. Dummerweise ist der Schnittpunkt außerhalb des Schaubild.
Deswegen muss man diesen eben berechnen. Lies dazu erst die beiden Funktionsterme aus dem Schaubild.

Lösung einblenden

Da die die beiden Geraden an ihrem Schnittpunkt auch den gleichen y-Wert haben müssen, können wir die Terme einfach gleichsetzen um den gemeinsamen x-Wert zu erhalten:

- 1 2 x +3 = - 2 5 x +5 | -3
- 1 2 x = - 2 5 x +2 |⋅ 10
-5x = -4x +20 | +4x
-x = 20 |:(-1 )
x = -20

L={ -20 }

Damit haben wir den x-Wert des Schnittpunkts. Diesen müssen wir nun noch links oder rechts einsetzen um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

- 1 2 ⋅( -20 ) +3 = 13 oder - 2 5 ⋅( -20 ) +5 = 13

Wir erhalten also den Schnittpunkt S(-20 | 13 ).