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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{16}{x} - \frac{64}{x^{2}}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{16}{x} - \frac{64}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{16}{x} \cdot x^{2} - \frac{64}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 16 x - 64$

0

=

- x^{2} + 16 x - 64

|

+ x^{2}

- 16 x

+ 64

$x^{2} - 16 x + 64$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{16}{2}$ = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x + 3}{4 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 13 x + 3}{4 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 13 x + 3}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 3 \cdot 4 x$
$- 13 x + 3$	=	$4 x \cdot x - 12 x$

- 13 x + 3

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

$- 4 x^{2} - x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 3}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 8}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{1+7}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 8}$ = $\frac{1-7}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,75$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9 x}{2 x - 1} + \frac{16 x}{x - 3} + \frac{- 56 x}{2 x - 6}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ ; $\frac{1}{2}$ }

$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{9 x}{2 x - 1} - \frac{56 x}{2 x - 6}$	=	0
$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{9 x}{2 x - 1} - \frac{56 x}{2 (x - 3)}$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{16 x}{x - 3} + \frac{9 x}{2 x - 1} - \frac{56 x}{2 (x - 3)}$	=	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{16 x}{x - 3} \cdot (x - 3) + \frac{9 x}{2 x - 1} \cdot (x - 3) - \frac{56 x}{2 (x - 3)} \cdot (x - 3)$	=
$16 x + \frac{9 x (x - 3)}{2 x - 1} - 28 x$	=
$16 x + \frac{9 x^{2} - 27 x}{2 x - 1} - 28 x$	=
$\frac{9 x^{2} - 27 x}{2 x - 1} + 16 x - 28 x$	=

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

$\frac{9 x^{2} - 27 x}{2 x - 1} + 16 x - 28 x$	=	\|⋅( $2 x - 1$ )
$\frac{9 x^{2} - 27 x}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) + 16 x \cdot (2 x - 1) - 28 x \cdot (2 x - 1)$	=
$9 x^{2} - 27 x + 16 x (2 x - 1) - 28 x (2 x - 1)$	=
$9 x^{2} - 27 x + (32 x^{2} - 16 x) + (- 56 x^{2} + 28 x)$	=
$- 15 x^{2} - 15 x$	=

$- 15 x^{2} - 15 x$	=	0
$- 15 x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{30}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{30}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 30$
$a x + x^{2} + 30$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter