D=R\{ $-3$; $3$}

$\frac{x}{x-3}-\frac{1}{x+3}$

=

$\frac{51}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$ weg!

$\frac{x}{x-3}-\frac{1}{x+3}$	=	$\frac{51}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$	|⋅( $\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$)
$\frac{x}{x-3}·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)-\frac{1}{x+3}·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$	=	$\frac{51}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}·\left(x+3\right)·\left(x-3\right)$
$x\left(x+3\right)-x+3$	=	$51\frac{x+3}{x+3}$
$x\left(x+3\right)-x+3$	=	$51$
$x^2+3x-x+3$	=	$51$
$x^2+2x+3$	=	$51$

$x^2+2x+3$

=

$51$

| $-51$

$x^2+2x-48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-48\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4+192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{-2+\sqrt{196}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{-2-\sqrt{196}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-16}{2}$ = $-8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $-8$; $6$}

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $\text{f(x)}=$ $a{x}^4+b{x}^2+c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 7 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 7 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(1|$9$) auf dem Graph von f liegt, muss f(1) = $9$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(1|$9$) ein Hochpunkt ist, also muss f'(1)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

1. f(0) = 7 (y-Achsenabschnitt)
2. f(1)=$9$ (H(1|$9$) liegt auf dem Graph)
3. f'(1)=0 (Hochpunkt bei x=1)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$\text{f(x)}=$ $a{x}^4+b{x}^2+c$
$\text{f(x)}=$ $4a{x}^3+2bx+0$

Daraus ergibt sich:

1. f(0) = 7: $a\cdot 0^4+b\cdot 0^2+c$ = 7, also c = 7
2. f(1)=$9$: $a\cdot 1^4+b\cdot 1^2+c$ = $9$, also 1⋅a + 1⋅b + c = $9$
3. f'(1)=0: $4a\cdot 1^3+2b\cdot 1+0$ = 0, also 4a + 2b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 7 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(1)=$9$ 1⋅a + 1⋅b + 7 = $9$ oder umgeformt:
1⋅a + 1⋅b = $2$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem: