Aufgabenbeispiele von Bewegungsaufgaben
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nach x Minuten
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A (alle Angaben in Meter). Nach 4s ist es im Punkt B angelangt. Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Flugzeugs in km/h?
An welchem Ort befindet sich das Flugzeug nach 7s?
Wie weit ist das Flugzeug dann geflogen?
Berechne den Winkel mit dem das Flugzeug steigt?
Wann hat das Flugzeug die Höhe von 1960m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor = zurück.
In 1s legt es also den Vektor ⋅ = zurück.
Dieser Vektor hat die Länge =.
Die Geschwindigkeit ist also
v=90
= 324
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
dargestellt werden,
wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 7 s befindet es sich also im
Punkt mit dem Ortsvektor
=
= ,
also im Punkt P.
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A nach P bewegt, also um den Vektor =. Dessen Länge ist (in m).
Den Steigungswinkel kann man einfach als Schnittwinkel der Geraden mit der (horizontalen) x1-x2-Ebene berechnen.
Die x1-x2-Ebene hat die Gleichung x3=0 und den
Normalenvektor =.
Daraus ergibt sich für den Steigungswinkel :
sin()= =
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 40m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 40 auf 1960m (also 1920m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
Bewegungsaufgabe mit geg. Geschwindigkeit
Beispiel:
Ein Flugzeug startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wann kommt es im Punkt B an?
Wann hat das Flugzeug die (absolute) Höhe von 220m erreicht?
In welchem Punkt befindet es sich dann?
Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in
Die Länge des Vektors
Bei einer Geschwindigkeit von 110
Punkt B wird als nach 1s erreicht.
In einer s wird also der Vektor
In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 20 auf 220m (also 200m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
Also im Punkt P
Höhe nach x Kilometern
Beispiel:
Ein Uboot startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wie tief ist das Uboot, wenn es 2,88 km zurückgelegt hat? (bitte als Höhe angeben, also mit negativem Vorzeichen)
Das Bewegungsobjekt legt in 4 min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Die Geradengleichung
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =
Die Geschwindigkeit ist also v=18
Für die Strecke von 2.88 km braucht es also
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x3-Koordinate, also -960 (in m).
Zwei Objekte - gleiche Höhe
Beispiel:
Die Gondel einer Seilbahn startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wann sind die Drohne und die Seilbahngondel auf gleicher Höhe?
Wie weit ist Drohne von der Seilbahngondel entfernt, wenn sie genau senkrecht über der Seilbahn ist?
Berechne zu diesem Zeitpunkt, an dem die Drohne genau über der Seilbahn ist, den vertikalen Höhenunterschied zwischen Drohne und Seilbahn an dieser Stelle.
Die Seilbahngondel F2 legt in 2s den Vektor
In 1s legt es also den Vektor
Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x3-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
= |
|
nach 5 s sind also die Drohne F1 und die Seilbahngondel F2 auf gleicher
Höhe:
Die Drohne F1 ist genau dann unter/über der Flugbahn von F2, wenn die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen übereinstimmen. Da aber höchstwahrscheinlich die Seilbahngondel F2 zu einem anderen Zeitpunkt genau unter oder über der Flugbahn von F1 ist, müssen wir verschiedene Parameter in die beiden Geradengleichungen einsetzen.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass die Drohne F1 nach 9s und die Seilbahngondel F2 nach 5s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
die Drohne F1 ist also nach 9s bei
d=|
Der Abstand der beiden Objekte nach 9s ist also
Auch den scheinbaren Schnittpunkt, den der genau darunter stehende Beobachter sieht, berechnet man indem man die x1- und x2-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.
langsame Rechnung einblenden
t =
eingesetzt in Zeile (I):
s =
Das heißt also, dass die Drohne F1 nach 9s und die Seilbahngondel F2 nach 5s an diesem 'x1-x2-Schnittpunkt' ist.
die Drohne F1 ist also nach 9s bei
Sie haben dort also die selben x1- und x2-Koordinaten, in der Höhe (x3-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von
2.2 - 1.4 = 0.8 m
Zwei Objekte Aufgabe - Abstände
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Die Position einer Drohne zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wie weit sind der Heißluftballon und die Drohne nach 1min von einander entfernt?
Wie groß ist der kleinste Abstand der beiden Flugbahnen?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die Drohne und der Heißluftballon am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Der Heißluftballon legt in 3min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Die Drohne ist nach 1min an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 64.92 m.
Um den kleinsten Abstand der beiden Bewegungsbahnen zu erhalten müssen wir die klassische Rechnung zur Bestimmung des Abstands zweier windschieder Geraden durchführen:
Zuerst bilden wir eine Ebene, welche die Gerade h:
Der Normalenvektor dieser Ebene ist der Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren der Geraden.
Wenn wir den Aufpunkt von h Ah
Nun können wir den Abstand zwischen der Geraden g:
Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.
Alternativer (kürzerer) Lösungsweg mit Formel einblenden
Der Abstand der beiden Bewegungsbahnen beträgt somit 7 m
Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.
Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen
d(t)=
d(t)=
=
=
da
mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t=
Wegen
der minimale Abstand ist also d(
nach x Minuten
Beispiel:
Ein Heißluftballon startet zum Zeitpunkt t=0 im Punkt A
Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Heißluftballons in km/h?
An welchem Ort befindet sich der Heißluftballon nach 3min?
Wie weit ist der Heißluftballon dann geflogen?
Berechne den Winkel mit dem der Heißluftballon steigt?
Wann hat er die Höhe von 190m erreicht?
Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
Die Geschwindigkeit ist also
v=90
Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g:
Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A
Den Steigungswinkel kann man einfach als Schnittwinkel der Geraden mit der (horizontalen) x1-x2-Ebene berechnen.
Die x1-x2-Ebene hat die Gleichung x3=0 und den
Normalenvektor
Daraus ergibt sich für den Steigungswinkel
In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 10m (Änderung in der x3-Koordinate).
Um von 30 auf 190m (also 160m) zu steigen (bzw. fallen),
muss es also
Zwei Objekte Aufgabe - Abstände (ohne windschief)
Beispiel:
Flugzeug Die Position eines Flugzeugs F1 zum Zeitpunkt t ist gegeben durch
Wie weit sind die beiden Flugzeuge nach 4min von einander entfernt?
Zu welchem Zeitpunkt kommen sich die beiden Flugzeuge am nächsten? Wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
Das Bewegungsobjekt legt in 2min den Vektor
In 1min legt es also den Vektor
F1 ist nach 4min an der Stelle P1
d=|
Der Abstand ist also ca. 26.1 km.
Um aber den geringsten Abstand der beiden Bewegungsobjekte zu berechnen, müssten wir den Abstand der beiden Positionen zu einer Zeit t bestimmen. Die aktuelle Position zum Zeitpunkt t lässt sich durch den allgemeinen Geradenpunkt darstellen.
Wir suchen also das t, so dass der Abstand zwischen
d(t)=
d(t)=
=
=
da
mit der notwendigen Bedingung f'(t)=0 erhält man t=
Wegen
der minimale Abstand ist also d(
Nicht lineare Bewegung
Beispiel:
Ein Kugelstoßer stößt eine Kugel auf einer Kugelstoßanlage, die durch die x1x2-Ebene beschrieben wird. Die Bahn der Kugel kann mithilfe der Punkte Xt(
Berechne die Weite, die für den Stoß gemessen wird.
Zuerst berechnen den t-Wert, an dem die Kugel auf die x1x2-Ebene trifft, also wenn x3= 0 ist:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Das heißt also, dass die Kugel nach 0,9 s in der x1x2-Ebene angekommen ist. Wenn wir t = 0,9 in den Punkt
Xt einsetzen, erhalten wir L(
Da ja die Kugel im Punkt X0
Vektors
d =