Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+0$

= $9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $9\cdot 1$

= $9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^3-4$ = $3\cdot \left(-1\right)-4$ = $-3-4$ = $-7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-7$ = $9$⋅( $-1$) + c

$-7$ = $-9$ + c | + $9$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $9$⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ ${\left(-2x+1\right)}^3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(-2x+1\right)}^2·\left(-2+0\right)$

= $3{\left(-2x+1\right)}^2·\left(-2\right)$

= $-6{\left(-2x+1\right)}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-6\cdot {\left(-2\cdot 2+1\right)}^2$

= $-6\cdot {\left(-4+1\right)}^2$

= $-6\cdot {\left(-3\right)}^2$

= $-6\cdot 9$

= $-54$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-54$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ ${\left(-2\cdot 2+1\right)}^3$ = ${\left(-4+1\right)}^3$ = ${\left(-3\right)}^3$ = $\left(-27\right)$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $-27$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-27$ = $-54$⋅$2$ + c

$-27$ = $-108$ + c | + $108$

$81$ = c

also c= $81$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-54$⋅x + $81$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{5}{e}^{-2\left(x+3\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{5}{e}^{-2\left(x+3\right)}·\left(-2\right)$

= $\frac{6}{5}{e}^{-2\left(x+3\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{6}{5}{e}^{-2\left(-3+3\right)}$

= $\frac{6}{5}{e}^{-2·0}$

= $\frac{6}{5}{e}^0$

= $\frac{6}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{6}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{3}{5}{e}^{-2\left(-3+3\right)}$ = $-\frac{3}{5}{e}^{-2·0}$ = $-\frac{3}{5}{e}^0$ = $-\frac{3}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-\frac{3}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{3}{5}$ = $\frac{6}{5}$⋅( $-3$) + c

$-\frac{3}{5}$ = $-\frac{18}{5}$ + c | + $\frac{18}{5}$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{6}{5}$⋅x + $3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x·e^x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-1·e^x-x·e^x$

= $-e^x-x·e^x$

= $e^x·\left(-1-x\right)$

= $e^x·\left(-x-1\right)$

= $\left(-x-1\right)·e^x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{-1}·\left(-\left(-1\right)-1\right)$

= $e^{-1}·\left(1-1\right)$

= $e^{-1}·0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\left(-1\right)·e^{-1}$ = $e^{-1}$ ≈ 0.37

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $e^{-1}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$e^{-1}$ = 0⋅( $-1$) + c

$e^{-1}$ = 0 + c

$e^{-1}$ = c

also c= $e^{-1}$ ≈ 0.37

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $e^{-1}$ oder y=0x +0.37

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $4\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot \cos \left(0\right)$

= $4\cdot 1$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(0\right)+3$ = $4\cdot 0+3$ = $0+3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $-\frac{1}{4}$⋅ $0$ + c

$3$ = 0 + c

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{4}$⋅x + $3$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|5) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|5) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

5 = $\left(-2u+2\right)·\left(1-u\right)$ + $-u^2+2u-5$ | -5

$\left(-2u+2\right)\left(1-u\right)-u^2+2u-5-5$ = 0

$2u^2-4u+2-u^2+2u-5-5$ = 0

$u^2-2u-8$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-2u-8$ = 0

L={ $-2$; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+2x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+2+0$

= $-2x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-2\right)+2$

= $4+2$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)-5$ = $-4-4-5$ = $-13$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-13$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-13$ = $6$⋅( $-2$) + c

$-13$ = $-12$ + c | + $12$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x $-1$

An der Stelle x= $4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+2x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+2+0$

= $-2x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 4+2$

= $-8+2$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4^2+2\cdot 4-5$ = $-16+8-5$ = $-13$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$| $-13$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-13$ = $-6$⋅ $4$ + c

$-13$ = $-24$ + c | + $24$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $11$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-2|-13) mit der zugehörigen Tangente: $6x-1$

B(4|-13) mit der zugehörigen Tangente: $-6x+11$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{20}{{\left(\mathrm{2,5}x-2\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(45|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(45|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{20}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{20}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}·\left(45-u\right)$ + $\frac{8}{\mathrm{2,5}u-2}$

$-20\frac{45-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}+\frac{8}{\mathrm{2,5}u-2}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$

$\left(-20\frac{45-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}+\frac{8}{\mathrm{2,5}u-2}\right)·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$ = 0

$-20\frac{45-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2+\frac{8}{\mathrm{2,5}u-2}·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$ = 0

$-20\left(45-u\right)+8\left(\mathrm{2,5}u-2\right)$ = 0

$-900+20u+20u-16$ = 0

$40u-916$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$40u-916$	=	0	| $+916$
$40u$	=	$916$	|:$40$
$u$	=	$\frac{229}{10}$ = 22.9

L={ $\frac{229}{10}$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(22.9|0.145)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 22.9 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($16$|$\frac{9}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($16$|$\frac{9}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u}$ = $-\frac{1}{2u}$

Wir können also P($16$|$\frac{9}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{-1}{2u}·\left(16-u\right)$ + $u^2+4$ | -$\frac{9}{2}$

$-\frac{1}{2}\frac{16-u}{u}+u^2+4-\frac{9}{2}$ = 0 | ⋅ $2u$

$\left(-\frac{1}{2}\frac{16-u}{u}+u^2+4-\frac{9}{2}\right)·2u$ = 0

$-\frac{1}{2}\frac{16-u}{u}·2u+u^2·2u+4·2u-\frac{9}{2}·2u$ = 0

$-\left(16-u\right)+2u^2·u+8u-9u$ = 0

$-16+u+2u^3+8u-9u$ = 0

$2u^3+0-16$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3+0-16$	=	0
$2u^3-16$	=	0	| $+16$
$2u^3$	=	$16$	|:$2$
$u^3$	=	$8$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={ $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $2$) = $2^2+4$ = $8$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $8$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{6,3}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $\mathrm{4,3}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{6,3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+\mathrm{6,3}$ = $1-3\cdot 1+\mathrm{6,3}$ = $1-3+\mathrm{6,3}$ = $\mathrm{4,3}$ ≈ 4.3

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $\mathrm{4,3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,3}$ = $-3$⋅$1$ + c

$\mathrm{4,3}$ = $-3$ + c | + $3$

$\mathrm{7,3}$ = c

also c= $\mathrm{7,3}$ ≈ 7.3

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\mathrm{7,3}$ oder y=-3x +7.3

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-3x+\mathrm{7,3}$	=	0	| $-\mathrm{7,3}$
$-3x$	=	$-\mathrm{7,3}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{2,4333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.433.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{2,025}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-3$	=	0	| $+3$
$6x$	=	$3$	|:$6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\frac{1}{2}$| $\frac{\mathrm{7,1}}{4}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{2,025}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{6}{4}$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>)}=$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\mathrm{1,5}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\mathrm{2,025}$ = $\frac{1}{8}-\mathrm{1,5}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\mathrm{2,025}$ = $\frac{1}{8}-\frac{\mathrm{1,5}}{4}+\mathrm{2,025}$ = $\frac{1}{8}-\frac{3}{8}+\frac{81}{40}$ = $\frac{5}{40}-\frac{15}{40}+\frac{81}{40}$ = $\frac{71}{40}$ ≈ 1.78

Wir erhalten so also den Punkt B($\frac{1}{2}$| $\frac{71}{40}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{71}{40}$ = $-\frac{3}{4}$⋅$\frac{1}{2}$ + c

$\frac{71}{40}$ = $-\frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{86}{40}$ = c

also c= $\frac{86}{40}$ ≈ 2.15

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅x + $\frac{86}{40}$ oder y=-0.75x +2.15

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\frac{3}{4}x+\mathrm{2,15}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x+\mathrm{2,15}\right)$	=	0
$-3x+\mathrm{8,6}$	=	0	| $-\mathrm{8,6}$
$-3x$	=	$-\mathrm{8,6}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{2,8667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.867.