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Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Gegegben sind die Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 7 e^{- 2 x} + 1$ und $g(x) =$ $- 6 e^{- x}$ . Bestimme die Schnittpunkte der Graphen.

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir einfach die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 7 e^{- 2 x} + 1

=

- 6 e^{- x}

|

+ 6 e^{- x}

6 e^{- x} - 7 e^{- 2 x} + 1

= 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

$6 e^{- x} - 7 e^{- 2 x} + 1$	=	0	\|⋅ $e^{2 x}$
$e^{2 x} + 6 e^{x} - 7$	=	0

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 6 u - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $1$

$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{x}$ = $- 7$

e^{x}

=

- 7

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Damit haben wir die Schnittstellen. Jetzt müssen wir die x-Werte nur noch in einen der beiden Funktionsterme einsetzen:

x₁ = 0: f(0)= $- 6 e^{- 0}$ = -6 Somit gilt: S₁(0|-6)

Steigung gleichsetzen

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangenten an den Graph von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ parallel zur Geraden y = $21 x - 5$ sind.

Lösung einblenden

Für die Steigung der Geraden y = $21 x - 5$ gilt m = $21$

Die Steigungen der Tangenten an f können wir mit der Ableitungsfunktion f' berechnen.

f(x)= $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$

f'(x)= $x^{2} - 4 x$

Also muss gelten:

x^{2} - 4 x

=

21

|

- 21

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4+10}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{4-10}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $7$ }

An diesen Stellen haben somit die Tangenten an f die Steigung $21$ und sind somit parallel zur Geraden y = $21 x - 5$ .

vermischte Gleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 5$ = 0

Lösung einblenden

e^{6 x} + 4 e^{3 x} - 5

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{3 x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u - 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Rücksubstitution:

u₁: $e^{3 x}$ = $1$

$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

u₂: $e^{3 x}$ = $- 5$

e^{3 x}

=

- 5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{3 x - 1} - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{6 x}{3 x - 1} - 3$	=	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{6 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - 3 \cdot (3 x - 1)$	=
$6 x - 9 x + 3$	=
$- 3 x + 3$	=

$- 3 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Gleichungen mit Polynomdivision

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{3} - 4 x^{2} - 19 x - 14$ = 0

Lösung einblenden

Die einzige und letzte Chance, die Lösungen von $x^{3} - 4 x^{2} - 19 x - 14$ = 0 zu bestimmen, ist mit Polynomdivision.
Das funktioniert aber nur, wenn wir eine ganzzahlige Lösung durch Ausprobieren finden.
Dazu testen wir alle Teiler (mit beiden Vorzeichen) des Absolutglieds $- 14$ .

$- 1$ ist eine Lösung, denn ${(- 1)}^{3} - 4 \cdot {(- 1)}^{2} - 19 \cdot (- 1) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 1$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 19 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 1$ )	=	$x^{2} - 5 x - 14$
-( $x^{3}$	$+ x^{2}$ )
	$- 5 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- 5 x^{2}$	$- 5 x$ )
		$- 14 x$	$- 14$
		-( $- 14 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 19 x - 14$ = $(x^{2} - 5 x - 14) \cdot (x + 1)$

(x^{2} - 5 x - 14) (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

Polynomdivision mit $- 2$

$- 2$ ist eine Lösung, denn ${(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 19 \cdot (- 2) - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $+ 2$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 19 x$	$- 14$ )	:	(x $+ 2$ )	=	$x^{2} - 6 x - 7$
-( $x^{3}$	$+ 2 x^{2}$ )
	$- 6 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $- 6 x^{2}$	$- 12 x$ )
		$- 7 x$	$- 14$
		-( $- 7 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 19 x - 14$ = $(x^{2} - 6 x - 7) \cdot (x + 2)$

(x^{2} - 6 x - 7) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₃	=	$- 2$

Polynomdivision mit $7$

$7$ ist eine Lösung, denn $7^{3} - 4 \cdot 7^{2} - 19 \cdot 7 - 14$ = 0.

Wir führen also eine Polynomdivison mit dem Divisor (x $- 7$ ) durch.

( $x^{3}$	$- 4 x^{2}$	$- 19 x$	$- 14$ )	:	(x $- 7$ )	=	$x^{2} + 3 x + 2$
-( $x^{3}$	$- 7 x^{2}$ )
	$3 x^{2}$	$- 19 x$
	-( $3 x^{2}$	$- 21 x$ )
		$2 x$	$- 14$
		-( $2 x$	$- 14$ )
			0

es gilt also:

$x^{3} - 4 x^{2} - 19 x - 14$ = $(x^{2} + 3 x + 2) \cdot (x - 7)$

(x^{2} + 3 x + 2) (x - 7)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

2. Fall:

$x - 7$	=	0	\| $+ 7$
x₃	=	$7$

L={ $- 2$ ; $- 1$ ; $7$ }

Betragsgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{3} | x + 1 | - 5$ = $- 6$

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} \| x + 1 \| - 5$	=	$- 6$
$- 5 - \frac{1}{3} \| x + 1 \|$	=	$- 6$	\| $+ 5$
$- \frac{1}{3} \| x + 1 \|$	=	$- 1$	\|⋅ $(- 3)$
$\| x + 1 \|$	=	$3$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

$x + 1$	=	$3$	\| $- 1$
x₁	=	$2$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ ≥ 0) genügt:

$2 + 1$ = 3 ≥ 0

Die Lösung $2$ genügt also der obigen Bedingung.

2. Fall: $x + 1$ < 0:

$- (x + 1)$	=	$3$
$- x - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$- 4$

Eigentlich müssen wir jetzt noch überprüfen, ob die Lösung(en) überhaupt der obigen Bedingung bei der Fallunterscheidung ( $x + 1$ < 0) genügt:

$- 4 + 1$ = -3 < 0

Die Lösung $- 4$ genügt also der obigen Bedingung.

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Schnittpunkte berechnen

Steigung gleichsetzen

vermischte Gleichungen

Bruchgleichungen

Gleichungen mit Polynomdivision

Polynomdivision mit -2

Polynomdivision mit 7

Betragsgleichungen

1. Fall: x +1 ≥ 0:

2. Fall: x +1 < 0:

Polynomdivision mit $- 2$

Polynomdivision mit $7$

1. Fall: $x + 1$ ≥ 0:

2. Fall: $x + 1$ < 0: