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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{81}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{81}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$81$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (81)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (81)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (81)}{\lg (3)}$

x

4

L={ $4$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 81

$3^{x}$ = $3^{4}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=4 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7^{x + 1}$ = $\frac{1}{7}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$7^{x + 1}$ = $\frac{1}{7}$

$7^{x + 1}$ = $7^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 7.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $x + 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$x + 1$	=	$- 1$	\| $- 1$
$x$	=	$- 2$

L={ $- 2$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x} - 5 \cdot 3^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$4^{x} - 5 \cdot 3^{x}$ = 0| $- 4^{x}$

$- 5 \cdot 3^{x}$ = $- 4^{x}$ | : $- 5$ : $4^{x}$

$\frac{3^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{1}{5}$

${(\frac{3}{4})}^{x}$ = $\frac{1}{5}$

${(\frac{3}{4})}^{x}$	=	$\frac{1}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{3}{4})}^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{5})$
$x \cdot \lg (\frac{3}{4})$	=	$\lg (\frac{1}{5})$	\|: $\lg (\frac{3}{4})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{5})}{\lg (\frac{3}{4})}$

x

5,5945

L={ $5,5945$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $3 \cdot {1,6}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 9 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $3 \cdot {1,6}^{0}$ =3. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 9 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=12, weil ja 12 - 3 = 9 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 12, also $3 \cdot {1,6}^{t}$ = 12.

$3 \cdot {1,6}^{t}$	=	$12$	\|: $3$
${1,6}^{t}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,6}^{t})$	=	$\lg (4)$
$t \cdot \lg (1,6)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (1,6)$
$t$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (1,6)}$

t

2,9495

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,9495$ Jahre ist der Bestand 12 Millionen, also um 9 Millionen größer als zu Beginn..