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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-3⋅ cos( 3x - π) +2 = 2

Lösung einblenden
-3⋅ cos( 3x - π) +2 = 2 | -2
-3⋅ cos( 3x - π) = 0 |:-3
canvas
cos( 3x - π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3x - π = 1 2 π | + π
3x = 3 2 π |:3
x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x - π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

3x - π = 3 2 π

oder

3x - π = 3 2 π-2π
3x - π = - 1 2 π | + π
3x = 1 2 π |:3
x2 = 1 6 π

L={ 1 6 π ; 1 2 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
3 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
3 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) +3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ cos( x ) = -3 |:2
cos( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
- sin( 2x - 3 2 π) = 0,25

Lösung einblenden
- sin( 2x - 3 2 π) = 0,25 |:-1
canvas
sin( 2x - 3 2 π) = -0,25 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.25268025514208

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; π ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 6,031

1. Fall:

2x - 3 2 π = 6,031

oder

2x - 3 2 π = 6,031 -2π |⋅ 2
4x -3π = 12,062 -4π | +3π
4x = 12,062 - π
4x = 8,9204 |:4
x1 = 2,2301

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x - 3 2 π) = -0,25 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.25 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 6,031 =-2.8894 bzw. bei -2.8894+2π= 3,394 liegen muss.

2. Fall:

2x - 3 2 π = 3,394

oder

2x - 3 2 π = 3,394 -2π |⋅ 2
4x -3π = 6,788 -4π | +3π
4x = 6,788 - π
4x = 3,6464 |:4
x2 = 0,9116

L={ 0,9116 ; 2,2301 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( -2⋅ sin( x + 3 2 π) -2 ) · sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( -2⋅ sin( x + 3 2 π) -2 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-2⋅ sin( x + 3 2 π) -2 = 0 | +2
-2⋅ sin( x + 3 2 π) = 2 |:-2
canvas
sin( x + 3 2 π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + 3 2 π = 3 2 π |⋅ 2
2( x + 3 2 π) = 3π
2x +3π = 3π | -3π
2x = 0 |:2
x1 = 0

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; π }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( x -6 ) · sin( x + π) = 0

Lösung einblenden
( x -6 ) · sin( x + π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -6 = 0 | +6
x1 = 6

2. Fall:

canvas
sin( x + π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + π = 0

oder

x + π = 2π | - π
x2 = π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x + π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x + π = π | - π
x3 = 0

L={0; π ; 6 }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 +3⋅ sin( x ) -4 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 +3⋅ sin( x ) -4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +3u -4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -4 ) 2⋅1

u1,2 = -3 ± 9 +16 2

u1,2 = -3 ± 25 2

u1 = -3 + 25 2 = -3 +5 2 = 2 2 = 1

u2 = -3 - 25 2 = -3 -5 2 = -8 2 = -4

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 1

canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

u2: sin( x ) = -4

sin( x ) = -4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 2 π }