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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₁ = $8$ und a₄ = $20$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 3 Schritten zwischen a₁ und a₄ kommt ja insgesamt $20$ - 8 = $12$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{12}{3}$ = $4$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $4 n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₁ = $8$ einsetzen:

$8$ = $4 \cdot 1 + d$

$8$ = $4 + d$ | -4

4 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $4 n + 4$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $- 4$ und a₅ = $- 128$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $- 4$ und a₅ = $- 128$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 4$ = $c \cdot 1$
II: $- 128$ = $c \cdot a^{5}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 4$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $- 128$ = $- 4 a^{5}$

$- 4 a^{5}$	=	$- 128$	\|: $(- 4)$
$a^{5}$	=	$32$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[5]{32}$	= $2$

Von oben (I) wissen wir bereits: $- 4$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $- 4 \cdot 2^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₂ = $12$ und a₄ = $192$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₂ = $12$ und a₄ = $192$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $12$ = $c \cdot a^{2}$
II: $192$ = $c \cdot a^{4}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $12$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $192$ = $\frac{12}{a^{2}} \cdot a^{4}$

also

II: $192$ = $12 a^{2}$

$12 a^{2}$	=	$192$	\|: $12$
$a^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
a₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Weil bei einer geometrischen Folge immer a>0 sein muss, fällt die negative Lösung weg.

Von oben (I) wissen wir bereits: $12$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c

mit a= $4$ eingesetzt erhalten wir so: $\frac{3}{4}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{3}{4} \cdot 4^{n}$