Wir suchen den Logarithmus von $144$ zur Basis $12$, also die Hochzahl mit der man $12$ potenzieren muss, um auf $144$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $12$^☐ = $144$ gilt.

Aus der Erinnerung an die Potenzrechnung oder durch systematisches Probieren kommt man auf die Lösung:

= $2$, eben weil $12$^$2$ = $144$ gilt .

Wir suchen den Logarithmus von $\sqrt[4]{3}$ zur Basis $3$, also die Hochzahl mit der man $3$ potenzieren muss, um auf $\sqrt[4]{3}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $3$^☐ = $\sqrt[4]{3}$ gilt.

Wenn wir jetzt die $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ umschreiben, steht die Lösung praktisch schon da: $3$^☐ = $3^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}$, eben weil $3$^{$\frac{1}{4}$} = $\sqrt[4]{3}$ gilt .

Zuerst schreiben wir $\frac{1}{1000}$ um: $\frac{1}{1000}$ = ${1000}^{-1}$

Man kann erkennen, dass $1000$ eine Potenz ist: $1000$ = ${10}^3$

Also schreiben wir $\frac{1}{1000}$ = ${1000}^{-1}$ = ${\left({10}^3\right)}^{-1}$ = ${10}^{-3}$

Da wir nicht den Logarithmus zur Basis 10 sondern zur Basis $100$ suchen und $100$ gerade 10² ist (also 10 = $\sqrt{100}$ = ${100}^{\frac{1}{2}}$), formen wir ${10}^{-3}$ noch so um, dass sie $100$ als Basis hat:

${10}^{-3}$ = ${\left({100}^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$

= heißt, dass wir den Logarithmus von ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ zur Basis $100$ suchen, also die Hochzahl mit der man $100$ potenzieren muss, um auf ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ zu kommen.

Also was muss in das Kästchen, damit $100$^☐ = ${10}^{-3}$ = ${100}^{-\frac{3}{2}}$ gilt.

Damit steht die Lösung praktisch schon da: = = = $-\frac{3}{2}$, eben weil $100$^{$-\frac{3}{2}$} = $\frac{1}{1000}$ gilt .

Wir suchen $18$er-Potenzen in der Näher von $312$, also eine die gerade noch kleiner und eine die schon größer als $312$ ist.

Dabei kommt man auf $18$ = 18¹ < $312$ und auf ${18}^2$ = 18² > $312$.

Und da wir bei ja das ☐ von 18^☐ = $312$ suchen, muss dieses ☐ irgendwo zwischen 1 und 2 liegen, wegen:
18¹ = $18$ < $312$ < ${18}^2$ = 18²

Es gilt somit: 1 < < 2

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b):
$\lg \left(1000000x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(1000000\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left({10}^6\right)+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $6+\lg \left(x\right)+2\lg \left(x\right)$
= $3\lg \left(x\right)+6$

$\lg \left(50000000\right)$ + $\lg \left(2\right)$

Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts an:

= $\lg (50000000·2)$

= $\lg \left(100000000\right)$

= $\lg \left({10}^8\right)$

= 8

Es gilt mit dem Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a):
$\lg \left(x^3\right)+2\lg \left(\frac{1}{x}\right)$
= $\lg \left(x^3\right)+2\lg \left(x^{-1}\right)$
= $3\lg \left(x\right)-2\lg \left(x\right)$
= $\lg \left(x\right)$

$\lg \left(\frac{1}{1000x}\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(50x^4\right)$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}{x}^{-1}\right)+\lg \left(20x\right)+\lg \left(50x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+(\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right))+(\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right))$

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)+\lg \left(\frac{1}{x}\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(x^4\right)$

Jetzt kann man mit dem 2. Logarithmusgesetz log(a^b) = b⋅log(a) umformen zu:

= $\lg \left(\frac{1}{1000}\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log($\frac{a}{b}$) = log(a)- log(b) noch die Brüche im Logarithmus umformen:

= $\lg \left(1\right)-\lg \left(1000\right)-\lg \left(x\right)+\lg \left(20\right)+\lg \left(x\right)+\lg \left(50\right)+4\lg \left(x\right)$

= $4\lg \left(x\right)-\lg \left(1000\right)+\lg \left(50\right)+\lg \left(20\right)$

Jetzt kann man mit dem 1. Logarithmusgesetz log(a ⋅ b) = log(a) + log(b) rückwärts umformen zu:

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{1000}·50·20)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg (\frac{1}{20}·20)$

= $4\lg \left(x\right)+\lg \left(1\right)$

= $4\lg \left(x\right)$