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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{27}{x}$ = $- 3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{27}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{27}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x^{2}$

$- 27$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 27$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$27$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{23 x + 3}{3 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{23 x + 3}{3 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{23 x + 3}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 5 \cdot 3 x$
$23 x + 3$	=	$3 x \cdot x + 15 x$

23 x + 3

=

3 x^{2} + 15 x

|

- 3 x^{2}

- 15 x

$- 3 x^{2} + 8 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 3}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{- 8+10}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{- 8-10}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 18 x}{x + 4} - 5$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{18 x}{x + 4} - 5

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{18 x}{x + 4} - 5$	=	$- x$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{18 x}{x + 4} \cdot (x + 4) - 5 \cdot (x + 4)$	=	$- x \cdot (x + 4)$
$- 18 x - 5 x - 20$	=	$- x (x + 4)$
$- 23 x - 20$	=	$- x^{2} - 4 x$

- 23 x - 20

=

- x^{2} - 4 x

|

+ x^{2}

+ 4 x

$x^{2} - 19 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{441}}{2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{19+21}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = $20$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{19-21}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $20$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $- \frac{6}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$- \frac{6}{x^{3}} + \frac{7}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{6}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{7}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$- 6 x + 7$

x^{2}

=

- 6 x + 7

|

+ 6 x

- 7

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x + 5} - \frac{- 35,2}{x + 1} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x + 5} + \frac{35,2}{x + 1} - 3 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{35,2}{x + 1} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{35,2}{x + 1} - 3 x$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{35,2}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) - 3 x \cdot (5 (x + 1))$
=	$- x + 176 - 15 x (x + 1)$
=	$- 15 x^{2} - 16 x + 176$

0

=

- 15 x^{2} - 16 x + 176

|

+ 15 x^{2}

+ 16 x

- 176

$15 x^{2} + 16 x - 176$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (- 176)}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 10 560}}{30}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{10 816}}{30}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{10 816}}{30}$ = $\frac{- 16+104}{30}$ = $\frac{88}{30}$ = $\frac{44}{15}$ ≈ 2.93

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{10 816}}{30}$ = $\frac{- 16-104}{30}$ = $\frac{- 120}{30}$ = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{44}{15}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 18$
$a x + x^{2} + 18$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $9$ }

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einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter