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42 Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 2} - \frac{4}{x - 2}$ = $\frac{47}{x^{2} - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ ; $2$ }

\frac{x}{x + 2} - \frac{4}{x - 2}

\frac{47}{(x + 2) \cdot (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $(x + 2) \cdot (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{x + 2} - \frac{4}{x - 2}$	=	$\frac{47}{(x + 2) \cdot (x - 2)}$	\|⋅( $(x + 2) \cdot (x - 2)$ )
$\frac{x}{x + 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2) - \frac{4}{x - 2} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$	=	$\frac{47}{(x + 2) \cdot (x - 2)} \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$
$x (x - 2) - 4 x - 8$	=	$47 \frac{x + 2}{x + 2}$
$x (x - 2) - 4 x - 8$	=	$47$
$x^{2} - 2 x - 4 x - 8$	=	$47$
$x^{2} - 6 x - 8$	=	$47$

x^{2} - 6 x - 8

47

- 47

$x^{2} - 6 x - 55$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 55)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 220}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{6+16}{2}$ = $\frac{22}{2}$ = $11$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{6-16}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $11$ }

Funktionstermbestimmung (Grad 4)

Beispiel:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse 3 Einheiten oberhalb des Ursprungs und hat den Hochpunkt H(2| $11$ )).

Bestimme den Term der Funktion f.

Lösung einblenden

Wenn eine ganzrationale Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, kann der Funktionsterm nur gerade x-Exponenten haben.

f(-x) = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm muss also $f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$ für bestimmte Werte für a, b und c sein.

Da ihr Graph die y-Achse 3 Einheiten oberhalb des Ursprungs schneidet, muss f(0) = 3 gelten.

Und weil der (Hoch-)Punkt H(2| $11$ ) auf dem Graph von f liegt, muss f(2) = $11$ gelten.

Außerdem wissen wir ja, dass H(2| $11$ ) ein Hochpunkt ist, also muss f'(2)=0 sein.

Somit haben wir drei Informationen:

f(0) = 3 (y-Achsenabschnitt)
f(2)= $11$ (H(2| $11$ ) liegt auf dem Graph)
f'(2)=0 (Hochpunkt bei x=2)

Diese Informationen setzen wir in die allgemeine Funktion und deren Ableitung ein:
$f(x) =$ $a x^{4} + b x^{2} + c$
$f(x) =$ $4 a x^{3} + 2 b x + 0$

Daraus ergibt sich:

f(0) = 3: $a \cdot 0^{4} + b \cdot 0^{2} + c$ = 3, also c = 3
f(2)= $11$ : $a \cdot 2^{4} + b \cdot 2^{2} + c$ = $11$ , also 16⋅a + 4⋅b + c = $11$
f'(2)=0: $4 a \cdot 2^{3} + 2 b \cdot 2 + 0$ = 0, also 32a + 4b = 0

Wir sehen beim Betrachten der ersten Gleichungen, dass c = 3 ist und setzen dies in die zweite Gleichung ein:

2. f(2)= $11$ 16⋅a + 4⋅b + 3 = $11$ oder umgeformt:
16⋅a + 4⋅b = $8$

Somit erhalten wir folgendes Lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 16 a & + 4 b & = & 8 & (I) \\ 32 a & + 4 b & = & 0 & (II) \end{matrix}

langsame Rechnung einblenden $2$ ·(I) $- 1$ ·(II)

\begin{matrix} 16 a & 4 b & = & 8 & (I) \\ (32 - 32) a & +(8 - 4) b & = & (16 + 0) & (II) \end{matrix}

\begin{matrix} 16 a & + 4 b & = & 8 & (I) \\ + 4 b & = & 16 & (II) \end{matrix}

Zeile (II):

\begin{matrix} + 4 b & = & 16 \end{matrix}

b = $4$

eingesetzt in Zeile (I):

\begin{matrix} 16 a & + 4 \cdot (4) & = & 8 \end{matrix}

| -

16

16

a =

- 8

| : 16

a = $- \frac{1}{2}$

Die gesuchte Funktion ist also:

f(x) = $- \frac{1}{2} x^{4} + 4 x^{2} + 3$