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Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Beispiel:

(Alle Sektoren sind gleich groß)

In einem großen Paket sind viele kleine Kisten drin - siehe Abbildung rechts. Es wird ein Kiste zufällig aus dem großen Paket gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die (orange) eingefärbte Kiste gezogen wird.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{1}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Mit Abzählen erkennt man, dass es insgesamt 20 Möglichkeiten gibt.

Hieraus ergibt sich somit: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{20}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) = $\frac{1}{20}$ = 1 : 20 ≈ 0.05

Als Prozentzahl ergibt das: P(eingefärbte Kiste) ≈ 0.05 = 5%

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Beispiel:

In einem Behälter sind 21 Kugeln, die mit Zahlen 1 bis 21 beschriftet sind. Es wird eine Kugel zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl kleiner als 10 ist.

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Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses lässt sich berechen als P(Ergebnis) = $\frac{Anzahl der günstigen Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Wenn wir nun alle Zahlen zwischen 1 und 21, die kleiner als 10 sind, suchern, finden wir eben die Zahlen von 1 bis 9,
also insgesamt 9 günstige Möglichkeiten.

Hieraus ergibt sich somit: P(kleiner als 10) = $\frac{9}{21}$ = $\frac{3}{7}$

Als Dezimalzahl ergibt das: P(kleiner als 10) = $\frac{3}{7}$ = 3 : 7 ≈ 0.429

Als Prozentzahl ergibt das: P(kleiner als 10) ≈ 0.429 = 42.9%

Zufallsexperiment (einstufig)

Beispiel:

In einer Urne sind 1 blaue, 3 grüne, 6 gelbe und 5 rote Kugeln. Es wird eine Kugel gezogen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit für die gezogene Farbe.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich berechen als p= $\frac{Anzahl gesuchter Möglichkeiten}{Anzahl aller Möglichkeiten}$

Hierfür müssen wir erstmal die Gesamtzahl aller Möglichkeiten zusammenzählen: 1 + 3 + 6 + 5=15

Hieraus ergibt sich für ...

blau: p= $\frac{1}{15}$

grün: p= $\frac{3}{15}$ = $\frac{1}{5}$

gelb: p= $\frac{6}{15}$ = $\frac{2}{5}$

rot: p= $\frac{5}{15}$ = $\frac{1}{3}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 scharze Felder und 1 grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{18}{37}$ ; "nicht rot": $\frac{19}{37}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{324}{1369}$
rot -> nicht rot	$\frac{342}{1369}$
nicht rot -> rot	$\frac{342}{1369}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{361}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{18}{37}$ ; P("nicht rot")= $\frac{19}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{324}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{324}{1369}$ = $\frac{324}{1369}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{7}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{1}{120}$ = $\frac{119}{120}$

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{7}{40}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{7}{120}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{7}{120}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{7}{120}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{1}{120}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{7}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{7}{120}$ )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{7}{120}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{7}{120}$ )
'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{7}{40}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{7}{40}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{7}{40}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{7}{24}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{24}$ = $\frac{119}{120}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 3 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an eine Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{120}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{120}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{7}{120}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{7}{40}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{7}{24}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{10}$ ; P("Jungs")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{7}{40}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{7}{40}$ )
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{7}{40}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )
'5'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 3 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 5.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{7}$ ⋅ $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $1$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{35}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 11 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{13}$ ⋅ $\frac{11}{12}$
= $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{11}{6}$
= $\frac{11}{78}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Zufallsexperiment (einstufig)

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- 1 9 = 8 9

Ziehen mit Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$