Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{2} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + x^{2} + 1$

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 2 x + 0$

= $4 x^{3} + 2 x$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{3}}$

= $- 3 x^{- 3}$

=> f'(x) = $9 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{9}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 x^{5} + \frac{1}{4} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 x^{5} + \frac{1}{4} \sqrt{x}$

= $- 7 x^{5} + \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 35 x^{4} + \frac{1}{8} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- 35 x^{4} + \frac{1}{8 \sqrt{x}}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + 7 x$ parallel zur Geraden y = $9 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $9 x + 2$ hat als Steigung m = 9 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 9 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + 7 x$

= $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 7 x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}} + 7$

$f'(x) =$ $\sqrt{x} + 7$

Diese Ableitung muss ja = 9 sein, also setzen wir $\sqrt{x} + 7$ = 9.

$\sqrt{x} + 7$	=	$9$	\| $- 7$
$\sqrt{x}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$2^{2}$

x

4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{x} + 7$

$=$ $\sqrt{4} + 7$

= $2 + 7$

= $9$

Rechte Seite:

x = $4$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $\sqrt{4} + 7$ = $9$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 4

Probe für x = $4$