Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $10\cdot 0-2$

= $0-2$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $5\cdot 0^2-2\cdot 0$ = $5\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-2$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+\frac{2}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+\frac{2}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0+\frac{2}{3}$

= $0+\frac{2}{3}$

= $0+\frac{2}{3}$

= $\frac{2}{3}$

≈ 0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{2}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $0^2+\frac{2}{3}\cdot 0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $\frac{2}{3}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{2}{3}$⋅x +0 oder y=0.67x

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^3+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-12\cdot {\left(-2\right)}^2+1$

= $-12\cdot 4+1$

= $-48+1$

= $-47$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{47}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{47}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^3-2$ = $-4\cdot \left(-8\right)-2$ = $32-2$ = $30$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $30$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$30$ = $\frac{1}{47}$⋅( $-2$) + c

$30$ = $-\frac{2}{47}$ + c | + $\frac{2}{47}$

$\frac{1412}{47}$ = c

also c= $\frac{1412}{47}$ ≈ 30.04

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{47}$⋅x + $\frac{1412}{47}$ oder y=0.02x +30.04

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(2|f(2)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 2 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^3+x^2$

=>$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^2+2x$

f'(2) = $-\frac{3}{2}\cdot 2^2+2\cdot 2$ = $-\frac{3}{2}\cdot 4+4$ = $-6+4$ = $-2$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(2)) = arctan( $-2$)) ≈ -63.4°.

Wenn der Steigungswinkel α = -71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-71.565°) ≈ -3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $x^2-17x+7$ ab:

f'(x) = $2x-17$

Es muss gelten:

$2x-17$	=	$-3$	| $+17$
$2x$	=	$14$	|:$2$
$x$	=	$7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 7.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2+4$

= $3\cdot 1+4$

= $3+4$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^3+4\cdot 1$ = $1+4$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $7$⋅ $1$ + c

$5$ = $7$ + c | $-7$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x $-2$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $7x-2$

$7x-2$	=	0	| $+2$
$7x$	=	$2$	|:$7$
$x$	=	$\frac{2}{7}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{2}{7}$ ≈ 0.29.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(3|f(3)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $7-\frac{1}{16}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{16}{t}^2$

= $-\frac{3}{16}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(3)}=$ $-\frac{3}{16}\cdot 3^2$

= $-\frac{3}{16}\cdot 9$

= $-\frac{27}{16}$

≈ -1.69

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{27}{16}$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(3)}=$ $7-\frac{1}{16}\cdot 3^3$ = $7-\frac{1}{16}\cdot 27$ = $7-\frac{27}{16}$ = $\frac{112}{16}-\frac{27}{16}$ = $\frac{85}{16}$ ≈ 5.31

Wir erhalten so also den Punkt B(3| $\frac{85}{16}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{85}{16}$ = $-\frac{27}{16}$⋅3 + c

$\frac{85}{16}$ = $-\frac{81}{16}$ + c | + $\frac{81}{16}$

$\frac{83}{8}$ = c

also c= $\frac{83}{8}$ ≈ 10.38

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{27}{16}$⋅t + $\frac{83}{8}$ oder y=-1.69t +10.38

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-\frac{27}{16}t+\frac{83}{8}$

$-\frac{27}{16}t+\frac{83}{8}$	=	0	|⋅ 16
$16\left(-\frac{27}{16}t+\frac{83}{8}\right)$	=	0
$-27t+166$	=	0	| $-166$
$-27t$	=	$-166$	|:($-27$)
$t$	=	$\frac{166}{27}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{166}{27}$ ≈ 6.15.