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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $t x^{4} + t x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{4} + t x^{2}$

$f'(x) =$ $4 t x^{3} + 2 t x$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $3 e^{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 e^{x}$

$f'(x) =$ $3 e^{x}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t e^{x} - 6 x$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $- 11 x - 4$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 2 t e^{x} - 6 x$

$f'(x) =$ $- 2 t e^{x} - 6$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ )= $- 2 t e^{0} - 6$ = $- 2 t - 6$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 11$ x-4 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $- 2 t - 6$ soll gleich $- 11$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $- 2 t - 6$ = $- 11$ nach t auf.

$- 2 t - 6$	=	$- 11$	\| $+ 6$
$- 2 t$	=	$- 5$	\|:( $- 2$ )
$t$	=	$\frac{5}{2}$ = 2.5

Für t= $\frac{5}{2}$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $(- x - 5) \cdot e^{- 3 t x}$ im Punkt B( $0$ |f( $0$ )) parallel zur Gerade y= $44 x - 2$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $(- x - 5) \cdot e^{- 3 t x}$

$f'(x) =$ $(- 1 + 0) \cdot e^{- 3 t x} + (- x - 5) \cdot e^{- 3 t x} \cdot (- 3 t)$

= $- e^{- 3 t x} + (- x - 5) \cdot (- 3 t e^{- 3 t x})$

= $- e^{- 3 t x} - 3 t (- x - 5) \cdot e^{- 3 t x}$

= $e^{- 3 t x} \cdot (3 t x + 15 t - 1)$

= $(3 t x + 15 t - 1) \cdot e^{- 3 t x}$

In diese Ableitung setzen wir x= $0$ ein:

f'( $0$ ) = $- e^{- 3 t \cdot 0} - 3 t \cdot (- 0 - 5) \cdot e^{- 3 t \cdot 0}$ = $- 1 + 15 t$ = $15 t - 1$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $44$ x-2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $0$ )= $15 t - 1$ soll gleich $44$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $15 t - 1$ = $44$ nach t auf.

$15 t - 1$	=	$44$	\| $+ 1$
$15 t$	=	$45$	\|: $15$
$t$	=	$3$

Für t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

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Ableiten mit Parameter

Ableiten mit Parameter (BF)

gegeb. Tangentensteigung (BF)

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0