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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen
Beispiel:
Ein idealer Würfel wird 3 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jeder Wurf eine "6" ist, außer beim zweiten Versuch.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - = . Da ja der Nicht-Treffer genau im zweiten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:
P = ⋅⋅ = ≈ 0.0231 .
Binomialkoeffizient
Beispiel:
Berechne ohne Taschenrechner:
Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
= =
=
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
7! = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:
=
= (gekürzt mit 4)
= (gekürzt mit 3)
= (gekürzt mit 2)
= 330
Binomialkoeffizient Anwendungen
Beispiel:
Die Sportlehrerin Frau Hertz braucht für eine Demonstration 3 Schülerinnen. Diese möchte sie zufällig aus der 24-köpfigen Sportgruppe losen. Wie viele verschiedene 3er-Gruppen sind so möglich?
Für die erste Stelle ist jede Schülerin möglich. Es gibt also 24 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist die bereits als erstes gewählte Schülerin nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 23 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 22 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:
Es gibt also
Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Antonia - Bea - Carla und Bea - Carla - Antonia zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 3er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.
Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 3er-Gruppe möglich sind.
- Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 3er-Gruppe möglich. Es gibt also 3 Möglichkeiten.
- Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 2 Möglichkeiten.
- Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 1 möglich sind, usw.
Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die
verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten
Wir müssen deswegen die 12144 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 3er-Gruppen durch die 6 Möglichkeiten, die 3er-Gruppe anzuordnen, teilen.
Hieraus ergeben sich = 2024 Möglichkeiten für 3er-Gruppen, die aus 24 Elementen (Schülerinnen) gebildet werden.
Die hier durchgeführte Berechnung könnte man mit 21! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:
2024 = = = =
Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.
Beispiel:
In einer Urne befinden sich 20 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 20 beschriftet sind.
Es werden 4 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 2 dabei ist?
Es gibt insgesamt = = = 4845 verschiedene Möglichkeiten, die 4 Kugeln aus den 20 zu ziehen, bzw. von 20 Zahlen 4 anzukreuzen.
Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 2 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 4 von 20 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 2 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 3 Kreuze auf 19 Zahlen (alle außer der 2) zu setzen, also = = = 969.
Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:
P = = ≈ 0.2, also ca. 20%.
Formel v. Bernoulli
Beispiel:
In einer Urne sind 7 blaue und 3 rote Kugeln. Es wird 68 mal eine Kugel gezogen. Nach jedem Ziehen wird die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 42 mal eine blaue Kugel gezogen wird?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der blauen Kugeln an. X ist binomialverteilt mit n=68 und p=0.7.
= =0.034708110077744≈ 0.0347(TI-Befehl: binompdf(68,0.7,42))
kumulierte WS aus Histogramm finden
Beispiel:
In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.75.
Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:
k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
---|---|---|
0 | ≈ 0 | ≈ 0 + 0 = 0 |
1 | ≈ 0.01 | ≈ 0 + 0.01 = 0.01 |
2 | ≈ 0.03 | ≈ 0.01 + 0.03 = 0.04 |
3 | ≈ 0.08 | ≈ 0.04 + 0.08 = 0.12 |
4 | ≈ 0.15 | ≈ 0.12 + 0.15 = 0.27 |
5 | ≈ 0.21 | ≈ 0.27 + 0.21 = 0.48 |
6 | ≈ 0.21 | ≈ 0.48 + 0.21 = 0.69 |
7 | ≈ 0.16 | ≈ 0.69 + 0.16 = 0.85 |
Während P(X ≤ 6) = 0.69 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.75 liegt, ist P(X ≤ 7) = 0.85 klar darüber.
Somit ist das gesuchte k = 7.
kumulierte Binomialverteilung
Beispiel:
Ein Zufallsexperiment wird 24 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,15.Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, höchstens 6 Treffer zu erzielen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=24 und p=0.15.
= + + +... + = 0.94280849635236 ≈ 0.9428(TI-Befehl: binomcdf(24,0.15,6))
Binomialverteilung X>=k
Beispiel:
Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=0,7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er von 33 Versuchen mehr als 23 trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=33 und p=0.7.
(TI-Befehl: 1-binomcdf(33,0.7,23))
Binomialverteilung l < X < k
Beispiel:
Ein Würfel wird 88 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 13 mal, aber weniger als 21 mal eine sechs gewürfelt wird?
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gewürfelten Sechser an. X ist binomialverteilt mit n=88 und p=.
=
(TI-Befehl: binomcdf(88,,20) - binomcdf(88,,13))