Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-800\\ -800\\ 400\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 200\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 4 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 200\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}-400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1400\\ -1400\\ 1000\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-1400|-1400|1000\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 2 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 50\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}100\\ -100\\ 90\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(100|-100|90\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(20|-20|50\right)$ nach P$\left(100|-100|90\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}80\\ -80\\ 40\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{80}^2+{\mathrm{(-80)}}^2+{40}^2}=\sqrt{14400}=120$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 3s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-300\\ 300\\ 150\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-100\\ 100\\ 50\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-100)}}^2+{100}^2+{50}^2}=\sqrt{22500}=150$.
Die Geschwindigkeit ist also v=150$\frac{m}{s}$ = 540$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-100\\ 150\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}200\\ 200\\ 100\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 100m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 850m (also 700m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{700}}{\mathrm{100}}$s = 7s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{108000\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 30$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{20}^2+{\mathrm{(-20)}}^2+{10}^2}=\sqrt{900}=30$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 30$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{\mathrm{30}}{\mathrm{30}}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-42\\ -24\\ 24\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 24\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ -24\\ 24\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{\mathrm{(-42)}}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{24}^2}=\sqrt{2916}=54$.
Die Geschwindigkeit ist also v=54$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 4.32 km braucht es also $\frac{\mathrm{4320}}{\mathrm{54}}$min = 80min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ 24\\ 0\end{array}\right)+80\cdot \left(\begin{array}{c}-42\\ -24\\ 24\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-3354\\ -1896\\ 1920\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-3354|-1896|1920\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also 1920 (in m).

F2 legt in 4min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -160\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}24\\ -8\\ -160\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ -1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}14\\ 1\\ -81\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 40\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}18\\ 3\\ -40\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 41.24 km.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-3\\ 24\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}32\\ 29\\ 1.8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 8\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 6 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,4}\cdot 6+\mathrm{0,6}$ = 3 = $\mathrm{0,2}\cdot 6+\mathrm{1,8}$

Das Flugzeug F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-35\\ -35\\ 0.5\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-35\\ -35\\ 0.5\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-7\\ -7\\ 0.1\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -7\\ 0.1\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}64\\ -62\\ 0.1\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0.9\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -7\\ 0.1\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass das Flugzeug F1 nach 8min und das Flugzeug F2 nach 1min an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

das Flugzeug F1 ist also nach 8min bei $\left(\begin{array}{c}64\\ -62\\ 0.1\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-8\\ 7\\ 0.3\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 2.5\end{array}\right)$, während das Flugzeug F2 nach 1min bei $\left(\begin{array}{c}7\\ 1\\ 0.9\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}-7\\ -7\\ 0.1\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}0\\ -6\\ 1\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

2.5 - 1 = 1.5 km

Das Bewegungsobjekt legt in 1min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-10\\ -20\\ 20\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1min steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 20m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 20 auf 200m (also 180m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{180}}{\mathrm{20}}$min = 9min lang steigen (bzw. sinken).

Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}600\\ -600\\ 300\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-250\\ -100\\ 150\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}300\\ -300\\ 150\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 150m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 150 auf 3450m (also 3300m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{3300}}{\mathrm{150}}$s = 22s lang steigen (bzw. sinken).