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Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Der Schalldruckpegel gibt an wie laut etwas ist. Die zugehörige Maßeinheit ist dB (Dezibel). Der leiseste für den Menschen noch wahrnehmbare Schall ist 0 Dezibel. Dabei ist der Schalldruck 0,00002 Pa (Pascal). Mit steigendem Schalldruckpegel (in dB) wächst der Schalldruck (in Pa) exponentiell. Ein Fernseher auf Zimmerlautstärke erzeugt einen Schalldruckpegel von 60 dB, was einem Schalldruck von 0,02 Pa entspricht. a) Wie hoch ist der Schalldruck bei 81 dB? b) Wie viel dB misst man bei einem Schalldruck von 97 Pa?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 0.00002 ist, gilt: f(0)= 0.00002, also 0.00002 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $0,00002 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(60)= $0,00002 e^{k \cdot 60}$ = 0,02.

$0,00002 e^{60 k}$	=	$0,02$	\|: $0,00002$
$e^{60 k}$	=	$1 000$	\|ln(⋅)
$60 k$	=	$\ln (1 000)$	\|: $60$
$k$	=	$\frac{1}{60} \ln (1 000)$	≈ 0.1151

also k ≈ 0.1151292546497, => f(t)= $0,00002 e^{0,1151 t}$

Wert zur Zeit 81: f(81)= $0,00002 e^{0,1151 \cdot 81}$ ≈ 0.2

Wann wird der Wert 97?: f(t)=97

$0,00002 e^{0,1151 t}$	=	$97$	\|: $0,00002$
$e^{0,1151 t}$	=	$4 850 000$	\|ln(⋅)
$0,1151 t$	=	$\ln (4 850 000)$	\|: $0,1151$
$t$	=	$\frac{1}{0,1151} \ln (4 850 000)$	≈ 133.7488

also t=133.7

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Beispiel:

Wissenschaftler glauben herausgefunden zu haben, dass blonde Haare wegen rezessiver Vererbung aussterben. Demnach würde sich alle 1085 Jahre die Zahl der Blonden halbieren. a) Wenn man davon ausgeht, dass im Jahr 2000 eine Milliarde blonde Menschen auf der Welt waren, wie viele (in Milliarden) wären es dann im Jahr 2179? b) Wie viel Jahre später (als 2000) gäbe es nur noch 0,6 Milliarden Blondies?

Lösung einblenden

Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 1 ist, gilt: f(0)= 1, also 1 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Wir berechnen k über die Halbwertszeit. Dazu stellen wir die Formel T_H= $\frac{-ln(2)}{k}$ um zu
k= $\frac{-ln(2)}{T}$ = $\frac{-ln(2)}{1085}$ ≈ -0.00063884532770502

=> f(t)= $e^{- 0,0006 t}$

Wert zur Zeit 179: f(179)= $e^{- 0,0006 \cdot 179}$ ≈ 0.9

Wann wird der Wert 0.6?: f(t)=0.6

$e^{- 0,0006 t}$	=	$0,6$	\|ln(⋅)
$- 0,0006 t$	=	$\ln (0,6)$	\|: $- 0,0006$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0006} \ln (0,6)$	≈ 799.4141

also t=799.4

Exponentielles Wachstum mit Prozent

Beispiel:

Bei einer Bakterienkultur geht man davon aus, dass sie jede Stunde um 10% wächst. Zu Beginn der Beobachtung werden 11 Milliarden geschätzt. a) Aus wie vielen Milliarden besteht die Bakterienkultur nach 3 Stunden? b) Wann sind es 17 Millarden?

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Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $a \cdot e^{k \cdot t}$ .

Da der Anfangsbestand 11 ist, gilt: f(0)= 11, also 11 = $a \cdot e^{k \cdot 0}$ = $a$ = $a$

somit gilt: f(t)= $11 e^{k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu nutzen wir die Formel k= ln(1+p/100) = ln(1.1) ≈ 0.095310179804325

=> f(t)= $11 e^{0,0953 t}$

Wert zur Zeit 3: f(3)= $11 e^{0,0953 \cdot 3}$ ≈ 14.6

Wann wird der Wert 17?: f(t)=17

$11 e^{0,0953 t}$	=	$17$	\|: $11$
$e^{0,0953 t}$	=	$\frac{17}{11}$	\|ln(⋅)
$0,0953 t$	=	$\ln (\frac{17}{11})$	\|: $0,0953$
$t$	=	$\frac{1}{0,0953} \ln (\frac{17}{11})$	≈ 4.5679

also t=4.6

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

Beispiel:

Ein Wasserboiler schaltet ab wenn er das Wasser auf 55° erhitzt hat. Nach 5 min ist das Wasser auf 52,99° abgekühlt. Die Temperatur des Raumes, in dem sich der Boiler befindet ist 20°. a) Wie warm war das Wasser nach 4 Minuten?b) Wie lange ist der Boiler ausgeschaltet, wenn er bei einer Wassertemperatur von 50° wieder automatisch einschaltet?

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Da wir von beschränktem Wachstum ausgehen, haben wir einen Funktionsterm der Form f(t)= $S - c \cdot e^{- k \cdot t}$ .

Aus dem Text entnehmen wir, dass die Schranke S=20 sein muss.

Da der Anfangsbestand 55 ist, gilt: f(0)= 55, also 55 = $20 - c \cdot e^{- k \cdot 0}$ = $20 - c$ = $20 - c$

$55$	=	$20 - c$
$55$	=	$- c + 20$	\| $- 55$ $+ c$
$c$	=	$- 35$

somit gilt: f(t)= $20 + 35 e^{- k \cdot t}$ , wir müssen also nur noch k bestimmen.

Dazu setzen wir einfach die zweite Information ein: f(5)= $20 + 35 e^{- k \cdot 5}$ = 52,99.

20 + 35 e^{- 5 k}

=

52,9947

$35 e^{- 5 k} + 20$	=	$52,9947$	\| $- 20$
$35 e^{- 5 k}$	=	$32,9947$	\|: $35$
$e^{- 5 k}$	=	$0,9427$	\|ln(⋅)
$- 5 k$	=	$\ln (0,9427)$	\|: $- 5$
$k$	=	$- \frac{1}{5} \ln (0,9427)$	≈ 0.0118

also k ≈ 0.011801436116006, => f(t)= $20 + 35 e^{- 0,0118 t}$

Wert zur Zeit 4: f(4)= $20 + 35 e^{- 0,0118 \cdot 4}$ ≈ 53.4

Wann wird der Wert 50?: f(t)=50

20 + 35 e^{- 0,0118 t}

=

50

$35 e^{- 0,0118 t} + 20$	=	$50$	\| $- 20$
$35 e^{- 0,0118 t}$	=	$30$	\|: $35$
$e^{- 0,0118 t}$	=	$\frac{6}{7}$	\|ln(⋅)
$- 0,0118 t$	=	$\ln (\frac{6}{7})$	\|: $- 0,0118$
$t$	=	$- \frac{1}{0,0118} \ln (\frac{6}{7})$	≈ 13.0636

also t=13.1

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Beispiel:

Ein Patient bekommt über eine Infusion jede Minute 7ml eines Wirkstoff ins Blut verabreicht. Gleichzeitig baut sein Körper jede Minute 1% des Wirkstoffs wieder ab. a) Wie viel Wirkstoff ist 8 Minuten nach dem erstmaligen Anlegen der Infusion in seinem Blut. b) Wann sind 11ml davon in seinem Blut?

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Wir können aus der Aufgabe lesen, dass immer ein konstanter Zuwachs und eine prozentuale Abnahme pro Zeitheit stattfindet. Wir können also für die (momentane) Änderungsrate f'(t) folgendes festhalten:

f'(t) = 7 - 0.01⋅f(t)

wenn man 0.01 ausklammert ergibt sich folgende Gleichung

f'(t) = 0.01( $\frac{7}{0.01}$ - f(t))

also f'(t) = 0.01(700 - f(t))

das ist nun ein Differtialgleichung des beschränkten Wachstums: f'(t) = k(S - f(t))

Wir wissen nun also, dass die Schranke S=700 und der Wachstumsfaktor k=0.01 sein müssen.

Der Funktionsterm muss also die Form f(t)= $700 - c \cdot e^{- 0,01 t}$ haben.

Um c noch bestimmen zu können, setzen wir einfach den Startwert f(0)=0 ein (Punktprobe).

0	=	$700 - c$
0	=	$- c + 700$	\|0 $+ c$
$c$	=	$700$

somit haben wir nun unseren Funktionsterm: f(t)= $700 - 700 e^{- 0,01 x}$

Wert zur Zeit 8: f(8)= $700 - 700 e^{- 0,01 \cdot 8}$ ≈ 53.8

Wann wird der Wert 11?: f(t)=11

700 - 700 e^{- 0,01 t}

=

11

$- 700 e^{- 0,01 t} + 700$	=	$11$	\| $- 700$
$- 700 e^{- 0,01 t}$	=	$- 689$	\|: $- 700$
$e^{- 0,01 t}$	=	$\frac{689}{700}$	\|ln(⋅)
$- 0,01 t$	=	$\ln (\frac{689}{700})$	\|: $- 0,01$
$t$	=	$- \frac{1}{0,01} \ln (\frac{689}{700})$	≈ 1.5839

also t=1.6

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.

Beispiel:

Gegeben ist die Bestandsfunktion f mit $f(t) =$ $11 e^{- 0,1 t}$ (t in min). Bestimme die Halbwertszeit bzw. die Verdopplungszeit.

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Am negativen Vorzeichen der Wachstumskonstante k, also des Koeffizienten im Exponent ( $- 0,1$ ) erkennen wir, dass es sich um exponentiellen Zerfall handeln muss. Somit suchen wir die Halbwertszeit.

Dazu setzen wir k = $- 0,1$ einfach in die Formel T_H = - $\frac{ln(2)}{k}$ ein:

T_H = - $\frac{ln(2)}{- 0,1}$ ≈ 6.931 min

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Exponentielles Wachstum mit 2. Wert

Exponentielles Wachstum mit Halbwertszeit

Exponentielles Wachstum mit Prozent

beschränktes Wachstum mit 2. Wert

beschränktes Wachstum mit Differentialgleichung

Halbwerts- + Verdopplungszeit best.