- Klasse 5-6
- Klasse 7-8
- Klasse 9-10
- Kursstufe
- COSH
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Hoch- und Tiefpkte in f (ohne F)
Beispiel:
Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.
Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).
Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.
Da der Graph von f ' bei x = 3 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = 3 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).
Wendepunkte in f (ohne F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)
Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.
Diese erkennen wir leicht bei x = 1 und x = 3.
Monotonie (ohne F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .
Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.
Wir erkennen: Im Intervall [-6;0] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.
Wir erkennen: Im Intervall [0;3] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.
Wir erkennen: Im Intervall [3;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.
Extrempunkte der Ableitung
Beispiel:
(Die Lösungen sind ganzzahlig)
Man erkennt am Graph von f', dass bei x = 1 das geringste Gefälle (m ≈ -2) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Hochpunkt.
Minimaler Grad bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist eine ganzrationale Funktion f.
Gezeichnet ist der Graph von f.
Wie groß muss der Grad von f mindestens sein?
Man erkennt am Graph von f 2 Extrempunkte, also muss f' ( - die Ableitung von f - ) mindestens 2 Nullstellen und somit auch mindestens Grad 2 haben.
Weil bei ganzrationalen Funktionen mit jedem Ableiten der Grad um 1 verringert wird, muss der Grad der Originalfunktion f um 1 höher, also f vom Grad 3 sein.
Pkt mit paralleler Tangente (ohne F)
Beispiel:
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y= verläuft.
Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.
Da die Gerade g die Steigung -1 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -1 haben. Es muss also f '(x) = -1 gelten.
Am Schaubild kann man f '(-1) = -1 und f '(1) = -1 ablesen.
Die gesuchten Stellen sind also x1 = -1 und x2 = 1.
Summe f(x) und f'(x) (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(2) + f '(2).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(2) = entnehmen.
Außerdem können wir natürlich f(2) = 2 am Schaubild ablesen:
Also gilt: f(2) + f '(2) =
2 +
Verkettung vorwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme h(-2).
Wir können der Zeichnung rechts f(-2) = -3 entnehmen.
Also gilt h(-2) = g(f(-2)) = g(-3)
g(-3) können wir auch wieder am (blauen) Graph ablesen:
h(-2) = g(f(-2)) = g(-3) = 0.
Verkettung rückwärts
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 1 gilt.
Wenn wir auf der y-Achse bei y = 1 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit
P(3|1), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
1 = g(3)
Wegen 1 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.
Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.
Diese erkennen wir bei Q1(1|3) und Q2(-3|3), also bei
x1 = 1 und x2 = -3
Verkettung von f und f' (ohne F)
Beispiel:
Bestimme f(f '(-1)).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = entnehmen.
Wir suchen also f(f '(-1)) = f().
f() können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):
f(f '(-1)) = f() = .
Extrempunkte der Ableitung
Beispiel:
(Die Lösungen sind ganzzahlig)
Man erkennt am Graph von f', dass bei x = -1 die geringste Steigung (m ≈ 0) ist. Dort hat also f'', die Ableitungsfunktion von f', einen Tiefpunkt.
Produktregel am Schaubild
Beispiel:
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=f(x)⋅g(x).
Bestimme h(1) und h'(1).
Wir können der Zeichnung rechts f(1) = 1 und g(1) = 1 entnehmen.
Also gilt h(1)= f(1)⋅g(1) =
Für die Ableitung h'(x) gilt nach der Produktregel h'(x) = f'(x)⋅g(x) + f(x)⋅g'(x)
Also h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1)
Da ja g (in blau gezeichnet) die Tangente an f in x=1 ist, können wir am Graph von g sowohl f'(1) als auch g'(1) als Steigung m= der Geraden ablesen, also gilt f'(1) = g'(1) = .
Somit gilt:
h'(1) = f'(1)⋅g(1) + f(1)⋅g'(1)
= ⋅
= .