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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=1 und der Standardabweichung σ=1.4 .

Berechne P(-1.5 ≤ X ≤ -0.4).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(-1.5 ≤ X ≤ -0.4) ≈ 0.1216

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=10 und der Standardabweichung σ=8 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.15. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.15 den Wert k ≈ 1.709.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 50 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,6 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube größer oder gleich 49,6 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 50 und der Standardabweichung σ = 0.6.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 49.6) ≈ 0.7475

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Eine Firma produziert 50 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozesse treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,7 mm. Wie kurz darf dann eine Schraube höchstens sein, damit sie zu den kürzesten 30% der Schrauben gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 50 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.3 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.3 den Wert k ≈ 49.633.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= -5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

μ und σ ablesen und Interval berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(1 ≤ X ≤ 2) ≈ 0.3413

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.394.

Bestimme P(X ≤ -6).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -4.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P(-6 ≤ X ≤ -4) entspricht: P(-6 ≤ X ≤ -4) = 0.394.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.394 - 0.394 = 0.212

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P(X ≤ -6) = $\frac{0.212}{2}$ = 0.106

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(7|0.021) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = 7.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = 7 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.021}$ ≈ 23.81 und runden diesen auf σ₁ = 24.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = 7 und σ₁=24) an der gegebenen Stelle x = 7 und erhalten f₁(7) = 0.0166
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=24 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = 7 berechnen:

μ = 7	σ = 23	f(7) = 0.0173
μ = 7	σ = 22	f(7) = 0.0181
μ = 7	σ = 21	f(7) = 0.019
μ = 7	σ = 20	f(7) = 0.0199
μ = 7	σ = 19	f(7) = 0.021

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 19 sein.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Getränkeabfüllanlage kann man die Füllmenge der Flaschen auf ganze ml einstellen. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 2,5 ml. Auf welchen Wert (ganzzahlig in ml) muss man die Abfüllanlage mindestens einstellen, damit in einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 700 ml drin ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 700 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 700) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 700) mindestens 0.9 ist:

μ = 700: P(X ≥ 700) = 0.5

μ = 701: P(X ≥ 700) = 0.6554

μ = 702: P(X ≥ 700) = 0.7881

μ = 703: P(X ≥ 700) = 0.8849

μ = 704: P(X ≥ 700) = 0.9452

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 704 einstellen.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einem Riesenrad kann man die Laufzeit für eine Umdrehung immer auf ganze Sekunden einstellen. Trotzdem ist dann nicht jede Umdrehung exakt gleich lang. Man kann aber davon ausgehen, dass die Umdrehungszeit normalverteilt ist mit der eingestellten Zeitdauer als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 3 s. Ein Schausteller bewirbt sein Riesenrad mit einer Umlaufzeit von 4 min. Auf welchen Wert (ganzzahlig in s) muss man das Riesenrad einstellen, so dass eine Umdrehung mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens die 4 min lang ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Laufzeit des Riesenrads für eine Umdrehung in Sekunden.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 240 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 240) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 240) mindestens 0.75 ist:

μ = 240: P(X ≥ 240) = 0.5

μ = 241: P(X ≥ 240) = 0.6306

μ = 242: P(X ≥ 240) = 0.7475

μ = 243: P(X ≥ 240) = 0.8413

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 243 einstellen.

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Firma produziert 70 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,4 mm. Die Schrauben werden dabei in Kartons mit 36 Stück verpackt. Ist eine Schraube kürzer als 69,8 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig gewählten Karton nicht mehr als 11 Schrauben zu kurz sind?

Lösung einblenden

Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als zu kurz gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 70 und der Standardabweichung σ = 0.4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≤ 69.8) ≈ 0.3085 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 36 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der zu kurzen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit n = 36 und p = 0.309 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.309}^{36} (X \leq 11)$ =

$P_{0.309}^{36} (X \leq 11)$ = 0.5652

(TI-Befehl: binomcdf(36,0.309,11) - binomcdf(36,0.309,-1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 56,5%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 40 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 7 mm. Übergroße Insekten mit einer Länge von über 47 mm gelten als besonders aggressiv und greifen oft andere Insekten an. Deswegen sollten nie mehr als 9 solcher übergroßen Insekten in einem Terrarium untergebracht sein. Wie viele Insekten kann man höchstens in ein Terrarium setzen, damit dies mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% gewährleistet ist?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die problematische Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 40 und der Standardabweichung σ = 7.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 47) ≈ 0.158655 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die Insekten mit der problematischen Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.158655 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
46	0.8159
47	0.7973
48	0.7779
49	0.7578
50	0.7371
51	0.7158
52	0.6941
53	0.672
54	0.6496
55	0.627
56	0.6043
57	0.5815
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Insekten mit der problematischen Mindestgröße an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.158655 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.159}^{n} (X \leq 9)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15.8655% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{9}{0.158655}$ ≈ 57 Versuchen auch ungefähr 9 (≈0.158655⋅57) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=57:
$P_{0.159}^{n} (X \leq 9)$ ≈ 0.5815 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=46 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

μ und σ ablesen und Interval berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw